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f(x)=xsinx-∫(0~x)(x-t)f(t)dt ,f(x)连续 求f(x)

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/10 11:19:50
f(x)=xsinx-∫(0~x)(x-t)f(t)dt ,f(x)连续 求f(x)
f(x)=xsinx - x∫[0→x] f(t)dt + ∫[0→x] tf(t)dt
f(0)=0
f '(x)=sinx + xcosx - ∫[0→x] f(t)dt - xf(x) + xf(x)
=sinx + xcosx - ∫[0→x] f(t)dt
f '(0)=0
f ''(x)=cosx + cosx - xsinx - f(x)
=2cosx-xsinx-f(x)
问题转化为微分方程初值问题：
f ''(x)+f(x)=2cosx-xsinx
f(0)=0,f '(0)=0
特征值法求齐次方程通解为：C1sinx+C2cosx
然后求特解,需要拆成两个微分方程
f ''(x)+f(x)=2cosx
f ''(x)+f(x)=-xsinx
第一个设特解为：x(A1cosx+A2sinx),解得特解为：xsinx
第二个设特解为：x[(A3x+A4)cosx+(A5x+A6)sinx],解得特解为：-(1/4)xsinx+(1/4)x²cosx
因此最终得：f(x)=C1sinx+C2cosx+(3/4)xsinx+(1/4)x²cosx
然后代入f(0)=0,f '(0)=0确定C1和C2.
这个题计算量很大.
若有不懂请追问,如果解决问题请点下面的“选为满意答案”.
f(x)=xsinx-∫(0~x)(x-t)f(t)dt ,f(x)连续 求f(x) f(x)连续且f(x)=x+(x^2)∫ (0,1)f(t)dt,求f(x) f(x)连续,g(x)=∫ t^2f(t-x)dt,求g'(x) 若f(x) 连续,∫[0,1]xf(t)dt=f(x)+xe^x,求f(x) 设f(X)连续且满足 f(x)=e^x+sinx- ∫ x 0 (x-t)f(t)dt,并求该函数f(x) 设f(x)连续,且满足f(x)=e^x+∫x上0下（t-x）f（t）dt 求f（x） 设f(x)具有连续导数,且满足f(x)=x+∫(上x下0)tf'(x-t)dt求lim(x->-∞)f(x) 设连续函数f(x)满足f(x)=e^x-∫(0,x)f(t)dt,求f(x) ①设f(x)=x+2∫(0,1)f(t)dt,求f(x). 设f（x）=sinx-∫(0~t)(x-t)f(t)dt,f为连续函数,求f(x). 设当x>0时,函数f(x)连续且满足f(x)=x+∫(1,x)1/xf(t)dt,求f(x) 设f(x)连续,且满足f(x)=e^x+∫(0,x)tf(x-t)dt,求f(x)