作业帮【急】求数学帝解答一道函数求解的思路!
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/17 08:27:20
【急】求数学帝解答一道函数求解的思路!
问题：若3f(x-1)+2f(1-x)=2x,求f(x)
答案：令x-1=t 则1-x=-t
原式为：3f(t)+2f(-t)=2(t+1)=2t+2 【1】
若x-1=-t 那么1-x=t
原式可为：3f(-t)+2f(t)=2(1-t)=2-2t 【2】
由【1】x 3 -【2】 x 2 得：
5f(t)=6t+6+4t-4=10t+2 则f(t)=(10t+2)/5
即：f(x)=(10x+2)/5
---------------------------------------------------------------------------
提问：解答过程中,用 t 和 -t 取代原式 自变量 x-1 ,是简化了运算,但其意义是什么? t 和 -t在取代过程中,【1】 、【2】式子 中 t 的表示意义在【1】、【2】中是否被偷换? 请大侠阐述下这个做法的可靠性,还有这个思路中 两次代量之间 的关系 .~~~~~~~~ ~~~~求具体!~~~~~~~~~~~~~~求真正的数学帝~~~~~~~~~~~~~! 求理论透析!
问题：若3f(x-1)+2f(1-x)=2x,求f(x)
答案：令x-1=t 则1-x=-t
原式为：3f(t)+2f(-t)=2(t+1)=2t+2 【1】
若x-1=-t 那么1-x=t
原式可为：3f(-t)+2f(t)=2(1-t)=2-2t 【2】
由【1】x 3 -【2】 x 2 得：
5f(t)=6t+6+4t-4=10t+2 则f(t)=(10t+2)/5
即：f(x)=(10x+2)/5
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提问：解答过程中,用 t 和 -t 取代原式 自变量 x-1 ,是简化了运算,但其意义是什么? t 和 -t在取代过程中,【1】 、【2】式子 中 t 的表示意义在【1】、【2】中是否被偷换? 请大侠阐述下这个做法的可靠性,还有这个思路中 两次代量之间 的关系 .~~~~~~~~ ~~~~求具体!~~~~~~~~~~~~~~求真正的数学帝~~~~~~~~~~~~~! 求理论透析!
这是简化了运算,是为了更符合f(x)的形式,更便于自己在做题是找到规律.做此类题型时,常先观察f中的x 的形式,寻找规律.通常t替代f括号内的含x的表达式,如上题中用t替代x-1,
则x=t+1,1-x=-t.用t替代后变为3f(t)+2f(-t)=2t+2.到这一步,更容易查看到规律,我们需要把含有-t项的去掉,以便得到只含t的项,显然只需用-t代替t即可,则3f(t)变为3(-t),而2f(-t)变为2f(t).因而3f(t)+2f(-t)=2t+2又可以变身为3f(-t)+2f(t)=2-2t.如此便可以联立3f(-t)+2f(t)=2-2t和3f(t)+2f(-t)=2t+2,消去f(-t),即可得到f(t)的表达式.对此类题型,需要多加练习,多揣摩,而后就信手拈来咯.
再问： 请问在联立的过程中我们是结合了两个式子中的 t 才完成运算。我们知道，（1）式中的 t ; (2) 式 中的 t 。是分别取代了不同 变量内容的。 我想问的就是，在这个合并“同项”步骤的过程中， (1) 式中 t 与 （2）式中 t ，是否可以相互合并，是否指代同一变量。 请详细说说。 我也主要是这边不清楚 它们相互关系。
再答： 理解未知数x的意思，x可以是任意值，两个t虽然代表的表达式不同，但其含义却是一样的，都能代表自变量x,即可把t看作x,或者说把x看作t.
再问： 你越说越模糊了= = 、 。。。 求详细 具体
再答： 字母只是自变量的一个形象化的表示，它可以为任意字母，只要各个字母的定义域是一样的，与y有着相同的函数关系，则这些字母都是一样的，就好比人，有小名和名字，这两个是等价的，都代表同一个人，只是叫法不一样，这和函数是一个道理，只要函数关系没变，用什么字母无关。函数的关键要素是定义域、函数关系、值域，这三者没变，函数就是同一个。不能局限于用什么字母表示自变量。
再问： （1）t 和 （2） t 。是什么关系，请详细说说。 至于你说的定义域什么的，我知道~
再答： 都是代表自变量x.1中的t只是取值与1中的t是一样的。虽然对给定的x的一个值的话其t的取值是不一样的的，但当x取便所有值时，1中的t与2中的t取值是一样的，都能代表自变量x.
再问： 当定义域全部取到时，两者值域相同。然后就能说明它们可以是同一变量么？ 请扩展开来说说，附带理论，举例。。 麻烦了~
则x=t+1,1-x=-t.用t替代后变为3f(t)+2f(-t)=2t+2.到这一步,更容易查看到规律,我们需要把含有-t项的去掉,以便得到只含t的项,显然只需用-t代替t即可,则3f(t)变为3(-t),而2f(-t)变为2f(t).因而3f(t)+2f(-t)=2t+2又可以变身为3f(-t)+2f(t)=2-2t.如此便可以联立3f(-t)+2f(t)=2-2t和3f(t)+2f(-t)=2t+2,消去f(-t),即可得到f(t)的表达式.对此类题型,需要多加练习,多揣摩,而后就信手拈来咯.
再问： 请问在联立的过程中我们是结合了两个式子中的 t 才完成运算。我们知道，（1）式中的 t ; (2) 式 中的 t 。是分别取代了不同 变量内容的。 我想问的就是，在这个合并“同项”步骤的过程中， (1) 式中 t 与 （2）式中 t ，是否可以相互合并，是否指代同一变量。 请详细说说。 我也主要是这边不清楚 它们相互关系。
再答： 理解未知数x的意思，x可以是任意值，两个t虽然代表的表达式不同，但其含义却是一样的，都能代表自变量x,即可把t看作x,或者说把x看作t.
再问： 你越说越模糊了= = 、 。。。 求详细 具体
再答： 字母只是自变量的一个形象化的表示，它可以为任意字母，只要各个字母的定义域是一样的，与y有着相同的函数关系，则这些字母都是一样的，就好比人，有小名和名字，这两个是等价的，都代表同一个人，只是叫法不一样，这和函数是一个道理，只要函数关系没变，用什么字母无关。函数的关键要素是定义域、函数关系、值域，这三者没变，函数就是同一个。不能局限于用什么字母表示自变量。
再问： （1）t 和 （2） t 。是什么关系，请详细说说。 至于你说的定义域什么的，我知道~
再答： 都是代表自变量x.1中的t只是取值与1中的t是一样的。虽然对给定的x的一个值的话其t的取值是不一样的的，但当x取便所有值时，1中的t与2中的t取值是一样的，都能代表自变量x.
再问： 当定义域全部取到时，两者值域相同。然后就能说明它们可以是同一变量么？ 请扩展开来说说，附带理论，举例。。 麻烦了~