作业帮求解3道关于四点共圆的数学题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/14 07:50:28
求解3道关于四点共圆的数学题
给出锐角三角形ABC,以AB为直径的圆与AB边的高CC'及其延长线交于M,N.以AC为直径的圆与AC边的高BB'及其延长线交于P,Q.求证：M,N,P,Q四点共圆.
如图：在圆O中,弦CD垂直于直径AB,M是OC的中点,AM的延长线交圆O于点E,DE与BC交于点N.求证：BN=CN
NS是圆O的直径,弦AB垂直于NS与M,P为弧ANB上异于N的任意一点,PS交AB于R,PM的延长线交圆O于Q.求证：RS>MQ.
要求配图
给出锐角三角形ABC,以AB为直径的圆与AB边的高CC'及其延长线交于M,N.以AC为直径的圆与AC边的高BB'及其延长线交于P,Q.求证：M,N,P,Q四点共圆.
如图：在圆O中,弦CD垂直于直径AB,M是OC的中点,AM的延长线交圆O于点E,DE与BC交于点N.求证：BN=CN
NS是圆O的直径,弦AB垂直于NS与M,P为弧ANB上异于N的任意一点,PS交AB于R,PM的延长线交圆O于Q.求证：RS>MQ.
要求配图
1.
证明：设PQ,MN交于K点,连接AP,AM．
由射影定理,得AM*AM=AC'*AB,AP*AP=AC*AB',又B、C、B'、C'四点共圆,
由切割线定理,AC'*AB=AC*AB',
∴AM=AP,又AM=AN,AP=AQ（垂直于直径的弦性质）,
∴AM=AP=AN=AQ,M、N、P、Q是共圆心为A的圆．
须证MK•KN=PK•KQ,
即证（MC′-KC′）（MC′+KC′）
=（PB′-KB′）•（PB′+KB′）
或MC′2-KC′2=PB′2-KB′2．①
∵AP=AM（所对弧长相等）,
从而有AB′2+PB′2=AC′2+MC′2．
故MC′2-PB′2=AB′2-AC′2
=（AK2-KB′2）-（AK2-KC′2）
=KC′2-KB′2．②
由②即得①,命题得证．
2.
证明：连接AC和BD．
∵弦CD垂直于直径AB,
∴BC=BD．
∴∠BCD=∠BDC．
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠OAC．
∵∠BDC=∠OAC,
∴∠BCD=∠OCA．
∴△BCD∽△OCA．
∴CB/CO =CD/CA
在△CDN和△CAM中,
∵∠DCN=∠ACM,∠CDN=∠CAM,
∴△CDN∽△CAM．（20分）
∵CN/CM=CD/CA=CB/CO=CB/2CM,∴CN=1/2CB,即BN=CN.3.
证明：连接NP,NQ,NR,NR的延长线交⊙O于Q′．连接MQ′,SQ′,
易证N,M,R,P四点共圆,
∴∠SNQ′=∠MNR=∠MPR=∠SPQ=∠SNQ．
根据圆的轴对称性质可知Q与Q′关于NS成轴对称,∴MQ′=MQ．
又易证M,S,Q′,R四点共圆,
且RS是这个圆的直径（∠RMS=90°）,MQ′是一条弦（∠MSQ′＜90°）,
∴RS＞MQ′．但MQ=MQ′,
∴RS＞MQ．
证明：设PQ,MN交于K点,连接AP,AM．由射影定理,得AM*AM=AC'*AB,AP*AP=AC*AB',又B、C、B'、C'四点共圆,
由切割线定理,AC'*AB=AC*AB',
∴AM=AP,又AM=AN,AP=AQ（垂直于直径的弦性质）,
∴AM=AP=AN=AQ,M、N、P、Q是共圆心为A的圆．
须证MK•KN=PK•KQ,
即证（MC′-KC′）（MC′+KC′）
=（PB′-KB′）•（PB′+KB′）
或MC′2-KC′2=PB′2-KB′2．①
∵AP=AM（所对弧长相等）,
从而有AB′2+PB′2=AC′2+MC′2．
故MC′2-PB′2=AB′2-AC′2
=（AK2-KB′2）-（AK2-KC′2）
=KC′2-KB′2．②
由②即得①,命题得证．
2.
证明：连接AC和BD．∵弦CD垂直于直径AB,
∴BC=BD．
∴∠BCD=∠BDC．
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠OAC．
∵∠BDC=∠OAC,
∴∠BCD=∠OCA．
∴△BCD∽△OCA．
∴CB/CO =CD/CA
在△CDN和△CAM中,
∵∠DCN=∠ACM,∠CDN=∠CAM,
∴△CDN∽△CAM．（20分）
∵CN/CM=CD/CA=CB/CO=CB/2CM,∴CN=1/2CB,即BN=CN.3.
证明：连接NP,NQ,NR,NR的延长线交⊙O于Q′．连接MQ′,SQ′,易证N,M,R,P四点共圆,
∴∠SNQ′=∠MNR=∠MPR=∠SPQ=∠SNQ．
根据圆的轴对称性质可知Q与Q′关于NS成轴对称,∴MQ′=MQ．
又易证M,S,Q′,R四点共圆,
且RS是这个圆的直径（∠RMS=90°）,MQ′是一条弦（∠MSQ′＜90°）,
∴RS＞MQ′．但MQ=MQ′,
∴RS＞MQ．