已知A=a11 a12 a13

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 13:57:51

已知A=a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33 是正定矩阵,
证明a22 a23
a32 a33 这个行列式大于0
我知道应该用顺序主子式来做,但是应该怎么寻找一个可逆矩阵C使得C'AC满足解题目的呢?是倒着推吗?希望老师能够解答一下,

从正定阵的定义入手,正定阵对应的二次多项式在变量变化的情况下总是大于0,比如你给的矩阵对应二次式 f(x,y,z)=a11*x*x+2a12*x*y+2a13*x*z+a22*y*y+2a23*y*z+a33*z*z(a12=a21.),A正定==f(x,y,z)任何时候都>0,那么现在我取x=0,f(0,y,z)=a22*y*y+2a23*y*z+a33*z*z也是在所有y,z都>0.所以f(y,z)对应的矩阵就是
a22 a23
a32 a33
也是正定矩阵,正定阵的行列式当然大于0
再问：我了个去，我想问的不是这个，不过你的答案我也很满意！书上是令C1=0 1 0 1 0 0 0 0 1 C2=1 0 0 0 0 1 0 1 0 再令C=C1C2 然后C'AC=a22 a23 a21 a32 a33 a31 a12 a13 a11 A和这个矩阵合同，所以这个矩阵正定，然后通过2阶顺序主子式来证明，我想问这个C1，C2是怎么一下子想出来的啊，凑出来的？大哥帮人帮到底呗
再答：用顺序主子式来做也可以，不过我总感觉这样做有点......绕远路首先原矩阵和C'AC=a22 a23 a21 a32 a33 a31 a12 a13 a11是合同的，这是做题前应该知道的(具体可以用f(x,y,z)来理解，变量替换，你懂的...)，那么接下来寻找变换矩阵 f(x,y,z)=[x,y,z]A[x,y,z]'，这里进行变量代换，x=c,y=a,z=b(其实就是把x放到最后，y,z提前，那么对应的矩阵就可以让a22,a23,a32,a33提到顺序主子式的位置)，所以[x,y,z]'=[0 0 1,1 0 0,0 1 0][a,b,c]',这个[0 0 1,1 0 0,0 1 0]就是C了代入得到f(a,b,c)对应 [a,b,c]C'AC[a,b,c]' 你说这个C是怎么想出来的，我认为也是先有了变量替换的思路后才有矩阵变换的思路，但是看到你提供的答案来看，求C的思路好像和这不一样，那么就是另外一种做法了:对合同变换非常熟悉后，可以对两个合同的矩阵直接写出合同变换，对于三阶矩阵，这样做不难，但是要对合同变换的规则非常熟悉（合同变换原则是死角元素对角换，边上元素对面换，这样先对a11，a33做一次对角换，别太去管其他元素，因为合同的矩阵，你抓好大头总可以变过去的，第一步变完以后，观察下一步该怎么变），如果对矩阵感觉不好，或者不是很熟悉，还是老老实实按我前面说的做吧。

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