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在平行四边形ABCD中,AM⊥BC,AN⊥CD,M、N为垂足,若AB=13,BM=5,MC=9,则MN的长度为_____

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/18 01:06:13
在平行四边形ABCD中,AM⊥BC,AN⊥CD,M、N为垂足,若AB=13,BM=5,MC=9,则MN的长度为______.
∵AM⊥BC,AB=13,BM=5,
∴Rt△ABM中,AM=
AB2−BM2=12,
sinB=
AM
AB=
12
13,
∵四边形ABCD为平行四边形,∴∠D=∠B,
∵AN⊥CD,AD=BC=BM+MC=14,
∴在Rt△ADN中,sinD=
AN
AD=
12
13,
∴AN=
168
13,
∵△AMN中,AM=12,∠B+∠BAD=180°,∠B+∠BAM=90°,
∴∠DAN+∠MAN=180°,
∴∠MAN=∠BAD-∠BAM-∠DAN=∠B,
∴由余弦定理,得
MN2=AM2+AN2-2•AM•AN•cos∠MAN=144+
28224
169-2×12×
168
13×
5
13=
32400
169,
∴MN=
180
13.
故答案为:
180
13.