一道高中数学联赛平面几何练习题

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/13 23:49:05

一道高中数学联赛平面几何练习题
三角形ABC内心为I,内切圆与AB、AC分别切于MN,BI、CI延长线交MN于K、L.求证：三角形ILK的外接圆与圆I相切的充要条件是AB+AC=3BC；

另外,怎样才能做到联赛成功,我有志在联赛中取得较好成绩,

首先证明三角形BMK,LNC,IKL,BIC四个三角形相似,（三个角都是B/2,C/2,90+A/2)
则r=KL/[2sin(LIK/2)]=KL/[2sin(90+A/2)]=KL/[2cos(A/2)]
R=MN/[2cosIMN]=MN/[2cos(A/2)]
要相切必须R=2r
所以MN=2KL
MN=2R/cos(A/2),KL=R/cos(A/2)
设a=KL/BC
BC=BM+CN=Rcot(B/2)+Rcot(C/2)=Rcos(A/2)/[sin(B/2)sin(C/2)]
a=sin(B/2)sin(C/2)/[cos(A/2)^2]
第一个关系式：3KL=MK+LN (看到3就激动了）
=BMsin(B/2)/sin(C/2)+CNsin(C/2)/sin(B/2)
代入KL,BM,CN,稍稍化简得到
(sinB+sinC)/[2sin(B/2)sin(C/2)]=3/cos(A/2)
由于sinB+sinC=2sin(B/2+C/2)cos(B/2-C/2)=2cos(A/2)cos(B/2-C/2)
所以cos(B/2-C/2)=3sin(B/2)sin(C/2)/[cos(A/2)^2]=3a
第二个关系式：MK/CN=BK/CL
MK=BMsin(B/2)/sin(C/2)
BK=BI+aCI BI=R/sin(B/2) CI=R/sin(C/2)
CL=CI+aBI
代入化简得1/[2sinB]+asin(C/2)cos(B/2)=1/[2sinC]+asin(B/2)cos(C/2)
1/2*(sinB-sinC)=sin(B/2-C/2)cos(B/2+C/2)=sin(B/2-C/2)sin(A/2)=asin(B/2-C/2)
所以sin(A/2)=a
最后LK=aBC
MN=2aBC=2sin(A/2)*BC
而MN=2AM*sin(A/2)
于是AM=BC
所以AB+AC=2AM+BC=3BC

一道高中数学联赛平面几何练习题高中数学联赛平面几何怎么准备? 高中数学联赛平面几何定理有哪些高中数学联赛平面几何定理和知识一道高中数学平面几何题, 一道高中数学平面几何奥赛题一道高中数学竞赛平面几何题一道高中数学竞赛平面几何题. 高中数学联赛平面几何定理和知识在哪里求全国高中数学联赛二试平面几何的所有知识为什么每年高中数学联赛都有平面几何题? 求推荐高中数学联赛的平面几何,不等式书