已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+1，令bn=an+1-an．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/04 10:12:37

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+1，令b_n=a_n+1-a_n．
（1）证明：数列{b_n}是等比数列；
（2）设数列{na_n}的前n项和为S_n，求使S_n+

n(n+1)

（1）证明：由a_n+1=2a_n+1，得a_n=2a_n-1+1（n≥2），
两式相减得：（a_n+1-a_n）=2（a_n-a_n-1）．
∵b_n=a_n+1-a_n，
∴b_n=2b_n-1．
又b₁=a₂-a₁=（2a₁+1）-a₁=a₁+1=2．
∴数列{b_n}是以2为首项，以2为公比等比数列；
（2）由（1）得bn＝2n，即an+1−an＝2n，
∴an＝a1+(a2−a1)+(a3−a2)+…+(a n−an−1)＝1+2+22+…2n−1＝2n−1，
∴nan＝n•2n−n，
∴Sn＝(1•21−1)+(2•22−1)+…+(n•2n−n)＝(1•21+2•22+…+n•2n)−
n(n+1)
2，
令T=1•2¹+2•2²+…+n•2ⁿ①，
则2T=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹②，
①-②得：-T=-2+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺¹，
∴T=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
∴Sn＝(n−1)•2n+1+2−
n(n+1)
2，
由S_n+
n(n+1)
2＞120，得（n-1）•2ⁿ⁺¹+2＞120，
即（n-1）•2ⁿ⁺¹＞118，
∵当n∈N₊时，（n-1）•2ⁿ⁺¹单调递增，
∴正整数n的最小取值为5．

已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+1，令bn=an+1-an．在数列an中,已知a1=2,an+1=2an/an +1,令bn=an(an -1).求证bn的前n项和已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=(an+an+1)/2,n∈N*.令bn=an+1-an,证明{bn} 已知数列{an}中,a1=2,an+1=4an-2/3an-1 bn=3an-2/an-1 求证；数列{bn}是等比数列数列an中,a1=3,an=(3an-1-2)/an-1,数列bn满足bn=an-2/1-an,证明bn是等比数列 2. 已知数列{an}满足:a1+a2+a3+…+an=n-an 求证{an-1}为等比数列令bn=(2-n)(an-1)求已知数列{an},a1=8,an=a1+a2+a3+...+an-1 令bn=1/an 求数列{bn}的各项和S 已知数列{an}a1=3 an+1=(3an+2)/(an+2) bn=(an-2)/(an+1) 求证bn是等比数列数列an中,a1=4,an+1=(3an+2)/(an+4),bn=an-1/an+2,求bn通项公式若数列{An}满足An+1=An^2,则称数列{An}为“平方递推数列”,已知数列{an}中,a1=9,点（an,an+ 已知数列{an}中,a1=3,an+1-2an=0,数列{bn}中,bn*an=(-1)^n (n是正整数) （1）求数已知数列{an}满足a1+a/4,(1-an)a(n+1)=1/4,令bn+an-1/2 求证数列{1/bn}为等差数列