作业帮有关函数证明的数学题目
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/16 05:44:33
有关函数证明的数学题目
设函数f(x)在（－∞,＋∞）上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x), 并且在闭区间[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0.
一试判断函数y=f(x)的奇偶性
二试求方程f（x)=0在闭区间[-2005,2005]上的根的个数,并证明你的结论.
{我手头上有答案,但没解释,只有答对并且解释得清楚才选为最佳.答案我就不给出了}
设函数f(x)在（－∞,＋∞）上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x), 并且在闭区间[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0.
一试判断函数y=f(x)的奇偶性
二试求方程f（x)=0在闭区间[-2005,2005]上的根的个数,并证明你的结论.
{我手头上有答案,但没解释,只有答对并且解释得清楚才选为最佳.答案我就不给出了}
1
当x=3时,f(2-3)=f(2+3)
所以f(-1)=f(5)
因为f(5)不等于0[原因：在闭区间[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0.]
所以f(-1)不等于0
所以f(-1)不等于f(1)
奇函数和偶函数的特点是：y轴两边的函数图象与X轴交点都是对称的{不信的自己可以证明一下}
而f(-1)与f(1)不对称
所以这个函数是非奇非偶函数
2
因为f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)
所以f(x)关于x=2和x=7对称
又因为f(1)=f(3)=0
由f(2-x)=f(2+x),
所以f(x)=f(4-x)
同理,由f(7-x)=f(7+x),
所以f(x)=f(14-x)
所以f(14-x)=f(4-x)
令t=4-x
所以f(10+t)=f(t)
由此可知f(x)的周期为10,
所以f（11）=f（13）=0
f（-9）=f（-7）=0
在区间[0,2005]
符合条件的有2010÷10×2=402个
在区间[-2005,0]
符合条件的有2000÷10×2=400个
所以一共符合的根的个数=400+402=802个
当x=3时,f(2-3)=f(2+3)
所以f(-1)=f(5)
因为f(5)不等于0[原因：在闭区间[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0.]
所以f(-1)不等于0
所以f(-1)不等于f(1)
奇函数和偶函数的特点是：y轴两边的函数图象与X轴交点都是对称的{不信的自己可以证明一下}
而f(-1)与f(1)不对称
所以这个函数是非奇非偶函数
2
因为f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)
所以f(x)关于x=2和x=7对称
又因为f(1)=f(3)=0
由f(2-x)=f(2+x),
所以f(x)=f(4-x)
同理,由f(7-x)=f(7+x),
所以f(x)=f(14-x)
所以f(14-x)=f(4-x)
令t=4-x
所以f(10+t)=f(t)
由此可知f(x)的周期为10,
所以f（11）=f（13）=0
f（-9）=f（-7）=0
在区间[0,2005]
符合条件的有2010÷10×2=402个
在区间[-2005,0]
符合条件的有2000÷10×2=400个
所以一共符合的根的个数=400+402=802个