24.如图,在平面直角坐标系中,点A(6,0）、B(0,8）、C(-4,0）,点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点,

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/24 10:22:31

24.如图,在平面直角坐标系中,点A(6,0）、B(0,8）、C(-4,0）,点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点,点M以2个单位长度\秒的速度自C向点A方向做匀速运动,点N以5个单位长度\秒的速度自点A向点B方向做匀速运动,MN交OB于点P.
(1)求证：MN比NP为定值.
(2)若三角形BNP是等腰三角形,求CM的长.
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图形分析：点M自点C向点A运动,点N自点A向点B运动,点P自点O向点B运动（点P并非顶点,而是运动点,动态点构成定值比）；当点M到达点A,则点N到达点D（AD=25单位长度）,且点P到达点B；若点M到达点O,那么点N到达点A,则MN与OB共线,不存在点P；整个运动过程中,M、N、P三点运动时间相同；
      (1)证明：设M、N的运动时间同为t；
           依题意可知M、N的坐标分别为(2t-4,0)、(6-3t,4t)；
           由于线段MN所在直线斜率为k=(4t-0)/[(6-3t)-(2t-4)]=4t/[5(2-t)],令线段MN所在直线方程为y=kx+b,那么带入M、N两点中任意一点坐标值得b=8t/5,即点P的坐标为(0,8t/5)；
           由M、N、P三点坐标可知：
                    MP=√[(2t-4)²+(8t/5)²]=2√(41t²/25-4t+4)
                    PN=√[(6-3t)²+(4t-8t/5)²]=3√(41t²/25-4t+4)
           那么MP：PN=2：3,则MN：NP=5：3；
      (2)由(1)可知,M、N、P三点一不同速率的运动过程中,M、N、P共线,且BP=8-8t/5,BN=10-5t；
          分析：由于M、N、P三点的运动速率关系为Vm＞Vn＞Vp,那么若△BNP为等腰三角形,则由其三边渐变速率可知,存在①BP=BN或②BN=PN,且点N在点A、B之间,即有t∈[0,2]（点N过点B后,不可能形成等腰△BNP,因为DP斜率始终要大于DB斜率,那么DP＞DB＞BP）；
          ①当BP=BN时,则8-8t/5=10-5t,解得t=10/17,即CM=2t=20/17；
          ②当BN=PN时,则10-5t=√[(6-3t)²+(4t-8t/5)²],那么25(2-t)²=9(2-t)²+(12t/5)²,又2-t≥0,解得t=5/4,即CM=5/2；
          综上所述：CM=20/17或CM=5/2.
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