高一函数题,已知函数fx=x2+1,且gx=f[f(x)],G(x)=g(x)-a f(x),试问,是否存在实数a,使得
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/05/18 05:38:02
高一函数题,
已知函数fx=x2+1,且gx=f[f(x)],G(x)=g(x)-a f(x),试问,是否存在实数a,使得G(x)在(负无穷,-1]上为减函数,并且在(-1,0)上为增函数.
答案“假设存在实数a,使得G(x)在(-∞,-1 ]为减函数,在(-1,0)上为增函数.
f(x)=x²+1
g(x)=f[f(x)]=[f(x)]²+1=(x²+1)²+1=x^4+2x²+2
G(x)=g(x)-af(x)= x^4+2x²+2-a(x²+1)=x^4+(2-a)x²+2-a
函数G(x)可看作是由函数u=t²+(2-a)t+(2-a)与函数t=x²复合而成,
易知,函数t=x²在(-∞,0)上为减函数,
要使G(x)在(-∞,-1 ]为减函数,在(-1,0)上为增函数
则函数u=t²+(2-a)t+(2-a) 在(0,1)为减函数,在(1,+∞)上为增函数
∴-(2-a)/2=1,
2-a= -2,
a=4,
故存在a=4,使得G(x)在(-∞,-1 ]为减函数,在(-1,0)上为增函数
为什么函数u在(0,1)为减函数,在(1,+oo)为增函数?求指教
已知函数fx=x2+1,且gx=f[f(x)],G(x)=g(x)-a f(x),试问,是否存在实数a,使得G(x)在(负无穷,-1]上为减函数,并且在(-1,0)上为增函数.
答案“假设存在实数a,使得G(x)在(-∞,-1 ]为减函数,在(-1,0)上为增函数.
f(x)=x²+1
g(x)=f[f(x)]=[f(x)]²+1=(x²+1)²+1=x^4+2x²+2
G(x)=g(x)-af(x)= x^4+2x²+2-a(x²+1)=x^4+(2-a)x²+2-a
函数G(x)可看作是由函数u=t²+(2-a)t+(2-a)与函数t=x²复合而成,
易知,函数t=x²在(-∞,0)上为减函数,
要使G(x)在(-∞,-1 ]为减函数,在(-1,0)上为增函数
则函数u=t²+(2-a)t+(2-a) 在(0,1)为减函数,在(1,+∞)上为增函数
∴-(2-a)/2=1,
2-a= -2,
a=4,
故存在a=4,使得G(x)在(-∞,-1 ]为减函数,在(-1,0)上为增函数
为什么函数u在(0,1)为减函数,在(1,+oo)为增函数?求指教
注意这句话:函数G(x)可看作是由函数u=t²+(2-a)t+(2-a)与函数t=x²复合而成
函数t=x² 中 x在(-∞,-1)增大过程中,t在(+∞,1)减小,若函数u在(1,+∞)上为增函数的话,则在(+∞,1)即为减函数 (看定义域的变化方向),最终推到G(x)中x在(-∞,-1)为减函数
再问: 我是这样理解的,因为u的对称抽a-2除2,因为t≥0所以函数u定义域为0到正无穷,因为开口向上,所以0到a-2除2递减,a-2除2递增,复合函数不是要去两函数单调性的交集么,根据同增异减,所以推出不存在
再答: 最终问的是Gx的单调性 x从-∞→-1 时 t从+∞→1 注意不是从1→+∞ 所以t函数(-∞→-1)递减 ,若控制u函数在+∞→1 递减(此时u函数1→+∞为增函数,注意定义域的变化方向),就可实现符合函数G(x)在-∞→-1 递减
再问: 我想问的是,复合函数最终确定Gx的单调性是根据分开的两函数各自的单调性取交集决定的,而函数u的单调性是从0以后的区间开始的,在0之前的区间不存在单调性,那么交集就是空集,如何存在实数a?
再答: 有电话么 我打给你说
函数t=x² 中 x在(-∞,-1)增大过程中,t在(+∞,1)减小,若函数u在(1,+∞)上为增函数的话,则在(+∞,1)即为减函数 (看定义域的变化方向),最终推到G(x)中x在(-∞,-1)为减函数
再问: 我是这样理解的,因为u的对称抽a-2除2,因为t≥0所以函数u定义域为0到正无穷,因为开口向上,所以0到a-2除2递减,a-2除2递增,复合函数不是要去两函数单调性的交集么,根据同增异减,所以推出不存在
再答: 最终问的是Gx的单调性 x从-∞→-1 时 t从+∞→1 注意不是从1→+∞ 所以t函数(-∞→-1)递减 ,若控制u函数在+∞→1 递减(此时u函数1→+∞为增函数,注意定义域的变化方向),就可实现符合函数G(x)在-∞→-1 递减
再问: 我想问的是,复合函数最终确定Gx的单调性是根据分开的两函数各自的单调性取交集决定的,而函数u的单调性是从0以后的区间开始的,在0之前的区间不存在单调性,那么交集就是空集,如何存在实数a?
再答: 有电话么 我打给你说
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