设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a,b,c∈R）满足下列条件:①当x∈R时,其最小值为0,且f（x-1）

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/14 03:41:00

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a,b,c∈R）满足下列条件:①当x∈R时,其最小值为0,且f（x-1）=f（-x-1）成立； ②当x∈（0,5）时,x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立.（1）求f（1）的值; （2）求f（x）的解析式（3）求最大的实数m（m>1）,使得存在t∈R,只要当x∈[1,m]时,就有f（x+t）≤x成立

f（x）=ax²+bx+c（a,b,c∈R）,
当x∈R时,其最小值为0,
∴b^2-4ac=0,①
由f（x-1）=f（-x-1）得-b/(2a)=-1,b=2a,
代入①,a=c,
∴f(x)=a(x^2+2x+1)=a(x+1)^2,
(1)当x∈（0,5）时,x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立,
∴1≤f(1)≤1,f(1)=1.
(2)f(1)=4a=1,a=1/4,
∴f(x)=(1/4)(x+1)^2.
f(x)-(2|x-1|+1)
={(1/4)(x+1)^2-2x+1=(1/4)(x^2-6x+5)=(1/4)(x-1)(x-5)≤0(1≤x
再问：实在是太感谢你了！
再答：别客气！

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