设A是n阶方阵,证明:|A|=0存在n阶方阵B≠O,使得AB=O

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/12 14:06:59
设A是n阶方阵,且A2=A,证明A+E可逆

由A^2=A知道A的特征值只能是1和0若|A+E|=0,则-1是其特征值,这不可能所以|A+E|≠0,即可逆

设A是n阶方阵,且(A+E)的平方=O,证明A可逆

(A+E)的平方=OA²+2A+E=OA(A+2E)=-EA(-A-2E)=E所以有定义可知A可逆.

设A是n阶方阵,且(A+E)^2=0,证明A可逆.

由(A+E)^2=0得A^2+2A+E=0A(-A-2E)=E所以A可逆且逆矩阵为-A-2E

设n阶方阵A满足A²=2A.证明A的特征值只能是0或2

证明:设a是A的特征值则a^2-2a是A^2-2A的特征值因为A^2-2A=0所以a^2-2a=0所以a(a-2)=0所以a=0或a=2.即A的特征值只能是0或2.

设A是n阶方阵,E是n阶单位阵.证明:如果A方等于A,则秩A+秩(A-E)=n

因为A^2=A所以A(A-E)=0所以0=R(A(A-E))≥R(A)+R(A-E)-n故R(A)+R(A-E)≤n又R(A)+R(A-E)=R(A)+R(E-A)≥R(A+E-A)=R(E)=n所以

设A为n阶方阵,证明当秩(A)

这个很简单啊,r(A)

设A为n阶方阵,k是常数,证明:|kA|=k的n次方|A|

这是方阵行列式的基本性质kA是A中所有元素都乘以k取行列式|kA|:每一行都有一个k公因子,根据行列式的性质,每行提出一个k所以:|kA|=k^n|A|

设A是N阶方阵,若存在N阶方阵B不等于零,使AB=0(矩阵),证明R(A)

用反证法.若R(A)=N,则A可逆.A^(-1)[AB]=A^(-1)*0=0,又A^(-1)[AB]=B,因此,B=0.与B不等于0矛盾.故,R(A)

设A,B是n阶方阵,满足AB=A-B,证明AB=BA

AB=A-BAB-A+B-I=-I(A-I)(B+I)=-I(B+I)(A-I)=-IBA-A+B-I=-IBA=A-B所以AB=BA

设A为n阶方阵,且A是可逆的,证明det(adjA)=(detA)的(n-1)次方

有个重要关系式:AA*=det(A)E,A*是A的伴随阵.取行列式得det(A)det(A*)=det(A)^ndet(E)=det(A)^n,由于det(A)不等于0,因此有det(A*)=(det

设A是n阶方阵,若存在n阶方阵B不等于0,使AB=0,证明R(A)小于n.

因为B≠O(矩阵),所以存在B的一列b≠0(列向量)因为AB=0,所以Ab=0即齐次线性方程组AX=0存在非零解,所以R(A)

线性代数,设A是n阶方阵,且(A+E)^2=0,证明A可逆.

(A+E)^2=0A²+2A+E=0A(A+2E)=-E两边取行列式,得|A|*|A+2E|≠0所以|A|≠0即A可逆.

设A是n阶方阵,且A的平方等于A,证明A+E可逆

假设A+E不可逆,则|A+E|=0所以-1是A的一个特征值设ξ是属于-1的一个特征向量则A^2ξ=A(-ξ)=-Aξ=ξ但A^2=A所以A^2ξ=Aξ=-ξ矛盾

设A是N阶方阵,若存在N阶方阵B不等于零,使AB=0,证明R(A)《N

假设R(A)=N那么A为满秩矩阵,那么A可逆,A*A的逆矩阵*B=0,所以B=0,与条件矛盾.所以R(A)〈N

设A是(n≥2)阶方阵,A*是A的伴随矩阵.证明:

1)r(A)=n等价于det(A)≠0等价于det(A*)=1等价于A*可逆等价于r(A*)=n2)

证明:设A是n阶方阵,若A^2=0,则A=0

例如A=(01)(00)则A≠0且A^2=0

方阵性质证明问题设AB为n阶方阵,证明|AB|=|A||B|

我只说简单的步骤,你可以自己试着推一下.(1)n阶方阵可以化成上三角阵和一些初等矩阵的乘积.(2)证明初等矩阵的乘积的行列式等于他们各自行列式的乘积.(3)证明上三角阵和上三角阵的乘积的行列式等于他们

设A是n阶方阵,证明|A|=0存在n阶方阵B≠0使得AB=0

===》如果|A|=0,则0为其特征根,于是存在列向量x1,使得Ax1=0设列向量x2=...=xn=0,设B=(x1,x2,...,xn),则B≠0,且AB=A(x1,x2,...,xn)=(Ax1