设A为列满秩矩阵,AB=C证明线性方程组BX=0与CX=0同解-搜答案-智慧作业帮

证明:因为A是对称矩阵所以A'=A.所以(B'AB)'=B'A'(B')'=B'AB所以B'AB是对称矩阵#

因为r(AB)

证明:因为A,B正定,所以A^T=A,B^T=B(必要性)因为AB正定,所以(AB)^T=AB所以BA=B^TA^T=(AB)^T=AB.(充分性)因为AB=BA所以(AB)^T=B^TA^T=BA=

证明:由C可逆知r(C)=n所以n=r(C)=r(AB)

利用知识点r(AB)

因为|A|=0所以r(A)再问：题目要求B是n阶矩阵，这里只证明了B可以是n×1矩阵呀？再答：令B的第1列为(k1,...,kn)^T,其余列都取0即可.

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C=AB是m*m阶矩阵,由于r(A)≤n,r(B)≤n,利用公式：r(AB)≤min{r(A),r(B)}得r(AB)≤n,而m﹥n,所以|AB|=0,即得C=AB不可逆再问：请问m﹥n，所以|AB|

方程组Bx＝0的解都是Cx＝0的解,但是C可逆,所以Cx＝0只有零解,所以Bx＝0也只有零解,所以B的列向量线性无关

因为AB=AC所以A(B-C)=0所以B-C的列向量都是Ax=0的解又因为B≠C所以B-C≠0所以Ax=0有非零解所以r(A)

充分性：因为AB=BA,所以（AB）'=B'A'=BA=AB,从而AB是对称矩阵必要性：因为AB为对称矩阵,所以AB=（AB）'=B'A'=BA再问：在必要性中，(AB)'怎么=(BA)'的再答：AB

A(BC)=(AB)C=(BA)C=B(AC)=B(CA)=(BC)A

应该是行列式|AB|=0因为A为m*n的矩阵所以r(A)

（AB+BA）T＝（AB）T+（BA）T＝BTAT+ATBT＝BA+AB＝AB+BA所以AB+BA也为对称矩阵

证明:必要性由于A,B都是n阶正定矩阵,根据正定矩阵的定义,A,B都是n阶对称矩阵,即A'=A,B'=B(这里A'表示A的转置矩阵).若AB正定,则AB也是对称矩阵,从而AB=(AB)'=B'A'=B

是AB=AC吧必要性:因为AB=AC所以A(B-C)=0所以B-C的列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解而A列满秩,Ax=0只有零解所以B-C=0所以B=C充分性显然.

1.直接用定义验证x非零时x^TBx>0,当然也可以看特征值2.A=C^TC,那么AB合同于CBC^{-1},然后看特征值

证明:分两步(1)ABX=0与BX=0同解显然,BX=0的解都是ABX=0的解所以BX=0的基础解系可由ABX=0的基础解系线性表示.由已知r(B)=r(AB)所以两个基础解系所含向量个数相同故两个基

再答：不客气

证明：若AB为反对称矩阵,则（AB）T=-AB=（-1）AB,已知A为n阶对称矩阵,则A=AT,B是n阶反对称矩阵,则BT=-B,而根据转置矩阵的重要性质（AB）T=BTAT=-BA=（-1）BA,（