n是正整数,64n-7n被57整除,

∵189=32×21，∴189n=321n，∴要使189n是整数，n的最小正整数为21．

证明：∵64n-7n能被57整除，∴64n-7n=57m（m为正整数），即82n=57m+7n，∴82n+1+7n+2=8×82n+49×7n=8（57m+7n）+49×7n=57（8m+7n），∴8

首先假设n=0,代人式子可得57=57,此式是成立的.假设n=n的时候上式成立,则有8^(2n+1)+7^(n+2)=57A（其中A为正整数）只要能证明n=n+1时式子仍能成立,即上式就是57的倍数.

n^2-16n+100=(n-8)^2+36,要使它为素数,则（n-8)^2不能是偶数,末位也不能是9,末数只能是1或者5,如（n-8)^2=1,（n-8)^2=25,（n-8)^2=81,（n-8)

vars,n,i,t:longint;beginreadln(n);fori:=1tondobegint:=i;whilet>0dobegins:=s+tmod10;t:=tdiv10;end;end

证明：令m/n=t(t>=0)则m=nt(m+7*n)/(m+n)=(t+7)*n/n(t+1)n不为零原式=（t+7）/(t+1)=1+6/(t+1)1)0根号7则1+6/(t+1)

(n+24)/n=1+(24/n)结果要是整数的话n应该能被24整除,有1,2,3,4,6,8,12,24共8个.(n+24)/n和(n+25)/n同时在正整数,则要求24/n和25/n同是整数,即n

n4-16n2+100=n4+20n2+100-36n2=(n2+10)2-(6n)2=(n2+10+6n)(n2+10-6n)因为n为正整数,所以n2+10+6n大于等于1.所以n2+10-6n小于

3^n+2-4*3^n+1+10*3^n=9*3^n-12*3^n+1+10*3^n=-3*3^n+10*3^n=7*3^n能被7整除

n^2+(n+1)^2=m^2{a:b:c=3:4:5,a^2+b^2=c^2}n=3再问：这只是n满足这个条件的其中一个值吧，应该还有其他满足体格式子的n值，那要怎么求呢？再答：m=k+n,k>1;

原式=3^n(3^2-4*3+10)=3^n*7因为3^n*7可以被7整除所以[3^(n+2)-4*3^(n+1)+10*3^n]可以被7整除

令N=75A=3^1×5^2×A根据约数个数公式,因75=3×5×5=(2+1)×(4+1)×（4+1）知,最小的满足题意的数,含质因数2、3、5,其幂次分别为：4、4、2这个数N最小=2^4×3^4

5只能是5!

数学归纳法：n=1时,8^（2n+1）+7^（n+2）=8^3+7^3=855=57*15成立假设n=k时成立,即8^2n+1+7^（n+2）是57的倍数,于是有8^（2k+1）+7^（k+2）=57

n只能=5析,n是一个正整数,且n能被5整除N是5的整数倍,5、10、15、20..同时n能整除5,只有1和5‘所以N只能=5所谓一数能被二数整除意思是艺术是二数的大于1的整数倍’所以81和956和7

证明：（1）当n=1时，f（1）═34-8-9=64能被64整除，命题成立．（2）假设当n=k时，f（k）=32k+2-8k-9能够被64整除．    &nbs

8^(2n+1)+7^(n+2)=8*64^n+49*7^n=8*64^n-8*7^n+57*7^n=8*(64^n-7^n)+57*7^n两项都能被57整除,所以8^(2n+1)+7^(n+2)能被

n^5-n=(n-1)n(n+1)(n^2+1),30=2x3x5,由于n-1,n,n+1中一定有2的倍数和3的倍数,只需证n^5-n可被5整除当n-1,n,n+1中有5的倍数时,显然成立当n-1,n

∵135=32×3×5=32×15，∴n的最小值是15．故答案是：15．

1/(n+1)+1/(n+4)+1/(n+9)≥1/73/(n+9)121/(n+1)+1/(n+9)12时成立,自己通分相减即得)故1/(n+1)+1/(n+4)+1/(n+9)1/7n