求证角AFC=二分之一的角ABC

延长BE至交AC于点F∵AE⊥BF,AE平分∠BAF∴∠BAE=∠FAEAE=AE∠AEB=∠AEF=90°∴△ABE≌△AFE(A.S.A)∴AB=AF,BE=FE=1/2BF2∠BAE+4∠C=1

连接BD,因为D是AB垂直平分线上的点,所以AD=BD,角A=角ABD又BA=BC,角B=120°所以角A=角C=（180°-120°）/2=30°角ABD=30°角DBC=角ABC-角ABD=120

连接BD,由垂直平分线知AD=DB,角A=角C=30°,所以角ABD=30°,所以角DBC=90°,所以在三角形DBC中,DB=1/2DC,所以AD=1/2DC.

这题的关键在于过M点作ME平行于AD交AC于E,AD垂直于CB,所以ME也垂直于CB.连接BE,在三角形CBE中ME是中线也是垂线所以是等腰三角形（也可用全等三角形证明）所以BE=CE,∠C=∠CBE

证明：取AC的中点E,连接DE、ME∴DE是Rt△ACD的中线∴DE=1/2AC∴DE=CE∴∠CDE=∠C∵M为BC的中点,E为AC的中点.∴EM//AB,EM=1/2AB∴∠EMC=∠B=2∠C∴

作AC的延长线AB1=AB,连接BB1,得AB-AC=CB1△BAB1为等腰三角形,根据角平分线的性质BF垂直AD于F,F即平分线AD与BB1的交点,得F是BB1的中点又∵E为BC中点,∴EF=1/2

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连接AD,AB=AC,角A=120°所以角B=30°.有BD=AD.在三角形ADC中.角DAC=90°.AD=BD=二分之一DC（30°所对边是斜的一半）

证明：∵M是AB的中点∴AM＝BM＝AB/2∵CM＝AB/2∴CM＝AM,CM＝BM∴∠ACM＝∠A＝30∴∠CMB＝∠A+∠ACM＝60∴等边△BCM∴CM＝BC∵N是MB的中点∴CN⊥AB（三线合

证明：连接BD∵AB＝BC,∠ABC＝120∴∠A＝∠C＝（180-∠ABC）/2＝30∵DE垂直平分AB∴BD＝AD∴∠ABD＝∠A＝30∴∠CBD＝∠ABC-∠ABD＝90∴CD＝2BD∴CD＝2

作CF⊥AD于F∵∠ADC+∠B=180°∴A、B、C、D四点共圆∵∠BAC=∠DAC∴BC=CD∵∠AEC=∠F=90°AC=AC∴△ACE≌△ACF∴AE=AFCE=CF∴RT△BCE≌RT△DC

由角B+角D=180度知,A、B、C、D四点共圆又角BAC＝角DAC,所以它们所对的弦相等,即BC＝CD延长AB至点F,使BF＝AD,连接CF则角D＝角CBF＝180度－角ABC,因此三角形BCF与D

证明：（1）以AB为直径作⊙O,由于AD⊥BC,BE⊥AC,则点D、E都在圆上∠BAD和∠BED都对应于⌒BD,所以∠BAD=∠BED,同理,∠ABE=∠ADE.∵∠CDE=∠BED+∠EBD,∠BA

过B,O作直径BG交圆于点G,交CD于点P；过C作CH垂直BG交圆于点H；过O作OF垂直BC交BC于F,连接OA,OD因为AB垂直CD,CH垂直BG所以角HCD+角CPG=角GBA+角BPD因为角CP

证明：因为角AFC+角D=90°又因为：角CFD=90°所以：角FCD+角D=90°由上面两个分析知：角AFC=角FCD即可求得AB平行于CD

延长BE与AC的延长线交于点F.可以证明三角形BAE与三角形FAE全等,条件：①∠BAE=∠FAE；②∠BEA=∠FEA=90°；③AE=AE,则就有AF=AB,所以CF=AF－AC=AB－AC,全等

取AB中点N,连接DN、MN.因为,MN是△ABC的中位线,所以,MN‖AC,可得：∠DMN=∠C.因为,DN是Rt△ABD斜边上的中线,所以,DN=BN=(1/2)AB,可得：∠BDN=∠B.因为,

角1+角CFD+角BFD=180°因为CF垂直于FD,所以角CFD=90°角1+交BFD=90°又因为角1和角D互余,所以角1+角D=90°所以角BFD=角D内错角相等,所以AB平行于CD再问：明白了

连结BM,∵MN是AB的垂直平分线,∴MA=MB,∴〈MBA=〈A=30°,∵〈C=90°,∴〈ABC=90°-30°=60°,∴〈MBC=60°-〈MBA=60°-30°=30°,∴CM=MB/2,

证明：过B作BN∥AC交EM延长线于N点,∵BN∥AC,BM=CM,∴CF：BN=CM：BM,∠CFM=∠N,∴CF=BN,又∵AD∥ME,AD平分∠BAC,∴∠CFM=∠DAC=∠E,∴∠E=∠N,