可逆矩阵n次方等于0-搜答案-智慧作业帮

我们知道,如果矩阵B和C成立BC=En,则B和C互为逆矩阵,从而当然B和C都是可逆的.用这个知识,本题只要证明（En-A）*（En+A+A的平方+……+A的k-1次方）=En即可,这很简单可得.

证明:由题设,n阶矩阵A满足A^m=0(零矩阵),因为(E-A)[E+A+A^2+A^3+.+A^(m-1)]=E-A^m=E-0=E,又因为[E+A+A^2+A^3+.+A^(m-1)](E-A)=

由于(E-A)(E+A+A²+...A的k-1次方)=(E+A+A²+...A的k-1次方)-(A+A²+...A的k次方)（注意抵消规律）=E-A的k次方=E-0=E所

凡是一个矩阵可表示成一个列矩阵乘该列矩阵的转置形式(A＝ααT),则该矩阵A的n次方必与A差一常数倍K,其中K＝tn-1,t=αTα.

特征值是0.设A的特征值为b,对应的特征向量为x,则A^nx=b^nx,因为A^n=0,所以b^nx=0.因为x≠0,所以b^n=0,b=0.

行列式可由Laplace展开定理,按第n+1,n+2,...,n+m行展开|D|=|A||B|(-1)^tt=n+1,n+2,...,n+m+1+2+...+m=mn+2(1+2+..+m)所以|D|

因为A^k=0所以(E-A)(E+A+A^2+...+A^(k-1))=E+A+A^2+...+A^(k-1)-A-A^2-...-A^(k-1)-A^k=E-A^k=E所以E-A可逆,且(E-A)^

核心：线性!第一章知识链线性代数核心就这么一点内容（考研的主要部分,不是全部喔!）线性方程组--->行列式--->矩阵--->向量--->向量

A^m=0A^m-E^m=-E^m针对左边利用展开式（A-E）[A^(m-1)+A^(m-2)E+……+E]=-E矩阵可逆的定义就是看这个矩阵和另外一个的乘积是否为单位阵这个只能这种方法

AA*=det(A)E则det(A)det(A*)=(det(A))^n故det(A*)=(det(A))^(n-1)

（E--A）（E+A+A^2+A^3+...+A^(n--1))=E+A+A^2+A^3+...+A^(n--1)--A--A^2--A^3--.--A^n=E--A^n=E,因此E-A可逆,且（E-

只要证明（B的逆矩阵)的2次方乘B的二次方=E（单位阵）即可这是显然的：（B的逆矩阵)的2次方乘B的二次方=（B的逆矩阵×B的逆矩阵）×（B×B）=B的逆矩阵×（B的逆矩阵×B）×B=B的逆矩阵×E（

C可逆,则C存在唯一的逆CC-1=E,也就是解唯一,根据线性方程组有唯一解的充要条件是系数矩阵满秩,也就是C满秩,为n.而C非0秩肯定小于等于n.顺便说一下满秩的另一个充要条件是矩阵的行列式不等于0

A=A^-1,A不一定为正负单位阵如:A=100-1A^T=A^-1,A是正交矩阵,也不一定为正负单位阵

（A+E)(A-3E)=E所以A+E可逆（A+E)^(-1)=A-3E

根据|AB|=|A||B|得到|A^k|=|A|^k=0所以|A|=0,所以不可逆

A可对角化的充要条件是A的极小多项式没有重根这里A的极小多项式一定是x^n-1的因子,显然无重根

可逆(A^n)^-1=(A^-1)^nA^n*(A^n)^-1=(A*A^-1)^n=E^n=E

等于,以n=3为例证明如下：利用(AB)T=BT*AT（AT）^3=AT*AT*AT=(A*A*A)T=(A^3)T

对B列分块,r(A)=n则A可逆所以Ax=0只有0解,所以B的每一列都是0向量