作业帮求解一数学题,要详解过程
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/15 08:10:19
求解一数学题,要详解过程
已知函数f(x)=lg(a^x-b^x) (a>b>1)问:1.求y=f(x)的定义域 2.y=f(x)的图象上是否存在不同的两点,使过这两点的直线平行于x轴,并说明理由 3.当a、b满足什么条件,f(x)在(1,正无穷)恒取正值.
已知函数f(x)=lg(a^x-b^x) (a>b>1)问:1.求y=f(x)的定义域 2.y=f(x)的图象上是否存在不同的两点,使过这两点的直线平行于x轴,并说明理由 3.当a、b满足什么条件,f(x)在(1,正无穷)恒取正值.
（1）
对数的真数要大于0
a^x-b^x>0
因为a>b>1
所以只要x>=0即可
所以函数f(x)=lg(a^x-b^x)的定义域是[0,正无穷)
（2）
令g(x)=a^x-b^x
因为g'(x)=(a^x)lna-b^x(lnb)
a^x>b^x>0,lna>lnb>0
所以g'(x)>0
即f(x)是增函数,所以在定义域内不存在两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))
x1≠x2,f(x1)=f(x2)
即其图象上不存在不同的两点的连线平行于x轴
（3）
f(x)是增函数,所以要使f(x)在(1,正无穷)恒取正值
只需要满足f(x)>f(1)>=0
f(1)=lg(a-b)>=0
a-b>=1
即当a,b满足关系a-b>=1时,f(x)在(1,正无穷)上恒取正值
对数的真数要大于0
a^x-b^x>0
因为a>b>1
所以只要x>=0即可
所以函数f(x)=lg(a^x-b^x)的定义域是[0,正无穷)
（2）
令g(x)=a^x-b^x
因为g'(x)=(a^x)lna-b^x(lnb)
a^x>b^x>0,lna>lnb>0
所以g'(x)>0
即f(x)是增函数,所以在定义域内不存在两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))
x1≠x2,f(x1)=f(x2)
即其图象上不存在不同的两点的连线平行于x轴
（3）
f(x)是增函数,所以要使f(x)在(1,正无穷)恒取正值
只需要满足f(x)>f(1)>=0
f(1)=lg(a-b)>=0
a-b>=1
即当a,b满足关系a-b>=1时,f(x)在(1,正无穷)上恒取正值