是否存在直线l与曲线y=x²及y=lnx都相切,若存在求出l的条数并给出证明.若不存在,说明理由
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/24 02:38:32
是否存在直线l与曲线y=x²及y=lnx都相切,若存在求出l的条数并给出证明.若不存在,说明理由
先设满足此条件的切线存在,且与曲线y=x²及y=lnx分别相切于A(a,a²),B(b,lnb)
y=x²,y' = 2x,过A的切线斜率为p = 2a
y = lnx,y' = 1/x,过B的切线斜率为q = 1/b
都相切,则p = q,2a = 1/b,b = 1/(2a),B(1/(2a),ln(1/2a))
切线方程:y - a² = 2a(x - a)
B在切线上:ln(1/(2a)) - a² = 2a(1/(2a) - a)
a² = lna + ln2 + 1
即上述方程的解的个数为切线条数.
令f(a) = a² - lna - ln2 - 1
f'(a) = 2a - 1/a = 0
a = 1/√2
易知,0 < a < 1/√2时,f'(a) < 0
a > 1/√2时,f'(a) > 0
f(1/√2) = 1/2 - ln(1/√2) - ln2 - 1 = -(1 + ln2)/2 < 0
显然,a -> 正负无穷大时,f(a) -> 正无穷大
即在定义域内,f(a) = a² - lna - ln2 - 1 = 0 有两个解,满足题意的切线有两条.
y=x²,y' = 2x,过A的切线斜率为p = 2a
y = lnx,y' = 1/x,过B的切线斜率为q = 1/b
都相切,则p = q,2a = 1/b,b = 1/(2a),B(1/(2a),ln(1/2a))
切线方程:y - a² = 2a(x - a)
B在切线上:ln(1/(2a)) - a² = 2a(1/(2a) - a)
a² = lna + ln2 + 1
即上述方程的解的个数为切线条数.
令f(a) = a² - lna - ln2 - 1
f'(a) = 2a - 1/a = 0
a = 1/√2
易知,0 < a < 1/√2时,f'(a) < 0
a > 1/√2时,f'(a) > 0
f(1/√2) = 1/2 - ln(1/√2) - ln2 - 1 = -(1 + ln2)/2 < 0
显然,a -> 正负无穷大时,f(a) -> 正无穷大
即在定义域内,f(a) = a² - lna - ln2 - 1 = 0 有两个解,满足题意的切线有两条.
是否存在直线l与曲线y=x²及y=lnx都相切,若存在求出l的条数并给出证明.若不存在,说明理由
是否存在正整数x,y,使根号x+根号y=根号1998?若存在,求出x+y的值;若不存在,请说明理由.
是否存在实数M,使得函数y=sin2x+mcos(x+π/4)的最大值等于7,若存在求出M,不存在说明理由.
高中数学:若存在过O(0,0)的直线l与曲线f(x)=x^3-3x^2+2x和y=x^2+a都相切,则a的值是多少?
是否存在实数a,使抛物线y=ax^2-1上总有关于直线y=x对称的两点?若不存在,说明理由;
是否存在这样的整数a,使方程组3x+4y=a,4x+3y=5的解是一对非负数?若存在,求出它的解,若不存在,请说明理由
是否存在一个整数a,使方程组①4x+4y=a,②4x+3y=5的解是一对非负数?若不存在,请说明理由;若存在,求出
已知函数f(x)=lnx+a/x,且直线l与曲线y=f(x)相切求直线l的斜率k的取值范围
是否存在正整数x、y,使根号x+根号y=根号1088?若存在,请求出不同整数对(x,y);若不存在,请说明理由.
已知函数f(x)=lnx.(1)若直线y=x+m与函数f(x)的图像相切,求实数m的值;(2)证明曲线y=f(x)与曲线
已知曲线C的方程:x^2+y^2-4x+2y+5m=0 若M=0,是否存在过点P(0,2)的直线l与曲线C交于A、B两点
是否存在整数m使一次函数y=x+m+2与y=2x-3m+7的图象的交点在第二象限若存在请写出m的值若不存在请说明理由