作业帮如何证明均值不等式？
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/02 06:26:35
设Gn=(a1a2...an)^(1/n)，An=(a1+a2+...+an)/n，证明Gn≤An 我是新高二，网上很多证明看不懂，希望可以解释地详细些
解题思路： 用数学归纳法
解题过程：
原题等价于：((a1+a2+…+an )/n)^n≥a1a2…an。
法一，用数学归纳法证
1当n=2时易证；
2假设当n=k时命题成立，即
((a1+a2+…+ak )/k)^k≥a1a2…ak。那么当n=k+1时，不妨设a(k+1)是a1，a2 ，…，a(k+1)中最大者，则
k a(k+1)≥a1+a2+…+ak。
设s=a1+a2+…+ak，
{[a1+a2+…+a(k+1)]/(k+1)}^(k+1)
={s/k+[k a(k+1)－s]/[k(k+1)]}^(k+1)
≥(s/k)^(k+1)+(k+1)(s/k)^k[k a(k+1)－s]/k(k+1) 用引理
=(s/k)^k* a(k+1)
≥a1a2…a(k+1)。用归纳假设
下面介绍个好理解的方法
琴生不等式法
琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点，
则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]
设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数
所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=ln[(x1*x2*...*xn)^(1/n)]
即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n)
在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦）
最终答案：略
解题过程：
原题等价于：((a1+a2+…+an )/n)^n≥a1a2…an。
法一，用数学归纳法证
1当n=2时易证；
2假设当n=k时命题成立，即
((a1+a2+…+ak )/k)^k≥a1a2…ak。那么当n=k+1时，不妨设a(k+1)是a1，a2 ，…，a(k+1)中最大者，则
k a(k+1)≥a1+a2+…+ak。
设s=a1+a2+…+ak，
{[a1+a2+…+a(k+1)]/(k+1)}^(k+1)
={s/k+[k a(k+1)－s]/[k(k+1)]}^(k+1)
≥(s/k)^(k+1)+(k+1)(s/k)^k[k a(k+1)－s]/k(k+1) 用引理
=(s/k)^k* a(k+1)
≥a1a2…a(k+1)。用归纳假设
下面介绍个好理解的方法
琴生不等式法
琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点，
则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]
设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数
所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=ln[(x1*x2*...*xn)^(1/n)]
即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n)
在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦）
最终答案：略