在ΔABC中,∠C=90°,P为三角形内一点,且S(PAB)=S(PBC)=S(PCA).

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/10 11:58:00

在ΔABC中,∠C=90°,P为三角形内一点,且S(PAB)=S(PBC)=S(PCA).
求证：PA^2+PB^2=5PC^2.

证明已知ΔABC是直角三角形,AB为斜边,记AB=c,BC=a,CA=b.则有:
c^2=a^2+b^2. (1)
满足:S(PAB)=S(PBC)=S(PCA),易证P是RtΔABC的重心.
设mc,ma,mb分别表示RtΔABC的对应边AB,BC,CA上的中线,则有
PC=2mc/3, PA=2ma/3, PB=2mb/3.
而三角形中线公式为:
4(mc)^2=2a^2+2b^2-c^2,
4(ma)^2=2b^2+2c^2-a^2,
4(mb)^2=2c^2+2a^2-b^2.
欲证明PA^2+PB^2=5PC^2,等价于证明
4(ma)^2+4(mb)^2=20(mc)^2 (2)
因为在RtΔABC中,4(mc)^2=2a^2+2b^2-c^2=c^2
而4(ma)^2+4(mb)^2=4c^2+a^2+b^2=5c^2.
所以(2)式成立.

在ΔABC中,∠C=90°,P为三角形内一点,且S(PAB)=S(PBC)=S(PCA). 在三角形ABC中,角C=90°,P为三角形内一点,且S三角形PAB=S三角形PBC=S三角形PCA. 在△ABC中,角C=90°,p为三角形内一点,且S△PAB=S△PBC=S△PCA. 在△abc中角 c=90° p为三角形内的一点且S△pab=S△pbc=S△pca 求证pa²+pb&sup 在三角形ABC中,AC=BC,∠C=90°,点P在三角形内,且∠PAB=∠PBC=∠PCA 求证S三角形PAB=2S三角已知：在△ABC中,AC＝BC,∠C＝90°,点P在三角形内,且∠PAB＝∠PBC＝∠PCA.求证：S△PAB＝2S△P 在△ABC中,AB=AC,角A=90°,如果P为三角形内一点,且∠PBC=∠PCA,那么∠BPC等于在三角形ABC中,角ABC=40°,角ACB=40°,p为三角形内的一点,且角PCA=20°,角PAB=20°,求角PB 已知P为△ABC内一点,且满足3PA+4PB+5PC=0（PA、PB、PC为向量）,那么S△PAB:S△PBC:S△PC 三角形ABC中,AB=AC,角A=40度,P为三角形ABC内一点,若角PBC=角PCA,则角BPC等于已知P为△ABC内一点,向量PA+2向量PB+3向量PC=向量0,则S△PAB：S△PBC：S△PAC=（）在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,P为△ABC内的一点,使角PBC=10°,∠PCA=20°.求∠PAC的度数