为什么确界存在定理仅对实数集成立?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/24 02:54:07

为什么确界存在定理仅对实数集成立?
虽然有理数集的确界可能是无理数,但这和确界存在定理对有理数集成立不矛盾啊!

仔细看一下命题的叙述
(1)如果A是R上的非空集合,且存在实数M使得M是A的一个上界,那么存在实数m使得m=supA.
如果换成有理数应该是
(2)如果A是Q上的非空集合,且存在有理数M使得M是A的一个上界,那么存在有理数m使得m=supA.
此时命题是不成立的.
而如果将命题(2)中的m仍然取做实数,即
(3)如果A是Q上的非空集合,且存在有理数M使得M是A的一个上界,那么存在实数m使得m=supA.
结论虽然成立但是没有价值,因为(3)比(1)条件强但结论一样.
注意确界存在定理是实数的基本定理之一,可以认为是在定义实数的过程中自然而然地证明出来的基本性质,和有理数比较的时候就应该完全抛弃实数的概念,也就是在还没有定义过实数的情况下仅在有理数域上类比出来的那些命题都是不成立的（注意确界、极限、区间端点等都要取成有理数）.

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