作业帮几何平均数和算术平均数的大小的公式推导
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/17 05:17:08
几何平均数和算术平均数的大小的公式推导
证明：1/n(a1+a2+.+an)≥(a1a2a3.an)开n次方
证明：1/n(a1+a2+.+an)≥(a1a2a3.an)开n次方
(1)n=2时：设a1,a2为实数,
有（a1-a2）²≥0,（当a1=a2时,等号成立）
a1²-2a1a2+a2²≥0,
a1²+a2²≥2a1a2,
a1²+2a1a2+a2²≥4a1a2,
（a1+a2)²/4≥a1a2,
∴（a1+a2)/2≥√a1a2.
(2)设n=k时成立：
（a1+a2+.+ak)/k=a1a2a..ak(k开k次方）
（3）当n=k+1时：
把ak换成a（n-1)+an,
下面仍然成立.
一般地：（a1+a2+...+an）/n=a1a2..an（开n次方）.
算术平均数大于等于几何平均数.
有（a1-a2）²≥0,（当a1=a2时,等号成立）
a1²-2a1a2+a2²≥0,
a1²+a2²≥2a1a2,
a1²+2a1a2+a2²≥4a1a2,
（a1+a2)²/4≥a1a2,
∴（a1+a2)/2≥√a1a2.
(2)设n=k时成立：
（a1+a2+.+ak)/k=a1a2a..ak(k开k次方）
（3）当n=k+1时：
把ak换成a（n-1)+an,
下面仍然成立.
一般地：（a1+a2+...+an）/n=a1a2..an（开n次方）.
算术平均数大于等于几何平均数.