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如图,已知点P是⊙O外一点,PS,PT是⊙O的两条切线,过点P作⊙O的割线PAB,交⊙O于A、B两点,并交ST于点C.

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/22 05:14:17
如图,已知点P是⊙O外一点,PS,PT是⊙O的两条切线,过点P作⊙O的割线PAB,交⊙O于A、B两点,并交ST于点C.
求证:
1
PC
1
2
(
1
PA
+
1
PB
)
证明:连PO交ST于点D,则PO⊥ST;
连SO,作OE⊥PB于E,则E为AB中点,
于是PE=
PA+PB
2
因为C、E、O、D四点共圆,
所以PC•PE=PD•PO
又因为Rt△SPD∽Rt△OPS
所以
SP
PD=
OP
PS
即PS2=PD•PO
而由切割线定理知PS2=PA•PB
所以PC•
PA+PB
2=PA•PB

1
PC=
1
2(
1
PA+
1
PB)