作业帮高中数学第9题和第10题.两道都没思路,求助前辈们,
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/12 05:28:51
高中数学第9题和第10题.两道都没思路,求助前辈们,
9、sinx+cosx=√2sin(x+π/4)=k在[0,π]上有两个根,画出f(x)=√2sin(x+π/4)的函数图像,可知当且仅当√2/2＜k/√2＜1时,也即√2＜k/√2＜2时,方程sinx+cosx=√2sin(x+π/4)=k在[0,π]上才有两个根.
10、两个方程为
x+sinx=π/2 ①
x+arcsinx=π/2 ②
依题意,有
x1+sinx1=π/2 ③
x2+arcsinx2=π/2 ④
对方程①,在同一平面直角坐标系中作出函数y=sinx与y=π/2 -x的图像,可知方程①的根x1必介于(0,π/2)且是唯一的.式③中,令sinx1=y,因x1∈(0,π/2),故有x1=arcsiny,则有arcsiny+y=π/2 ,也即y+arcsiny=π/2 ⑤ .
对方程②,考察函数f(x)=x+arcsinx,易知函数f(x)在定义域[-1,1]上为单调递增函数,则方程②的解必是唯一的,也即存在唯一解x2∈(0,1),满足x2+arcsinx2=π/2,即式④.观察式⑤和式④,由解得唯一性知y=x2=sinx1.结合式③即x1+x2=π/2 .
10、两个方程为
x+sinx=π/2 ①
x+arcsinx=π/2 ②
依题意,有
x1+sinx1=π/2 ③
x2+arcsinx2=π/2 ④
对方程①,在同一平面直角坐标系中作出函数y=sinx与y=π/2 -x的图像,可知方程①的根x1必介于(0,π/2)且是唯一的.式③中,令sinx1=y,因x1∈(0,π/2),故有x1=arcsiny,则有arcsiny+y=π/2 ,也即y+arcsiny=π/2 ⑤ .
对方程②,考察函数f(x)=x+arcsinx,易知函数f(x)在定义域[-1,1]上为单调递增函数,则方程②的解必是唯一的,也即存在唯一解x2∈(0,1),满足x2+arcsinx2=π/2,即式④.观察式⑤和式④,由解得唯一性知y=x2=sinx1.结合式③即x1+x2=π/2 .