作业帮设A为三阶方阵，α1，α2，α3为三维线性无关列向量组，且有Aα1=α2+α3，Aα2=α1+α3，Aα3=α1+α2．
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/09 19:45:16
设A为三阶方阵，α1，α2，α3为三维线性无关列向量组，且有Aα1=α2+α3，Aα2=α1+α3，Aα3=α1+α2．求
（Ⅰ）求A的全部特征值；
（Ⅱ）A是否可以对角化？
（Ⅰ）求A的全部特征值；
（Ⅱ）A是否可以对角化？
（I）
由已知得：
A（α1+α2+α3）=2（α1+α2+α3），A（α2-α1）=-（α2-α1），A（α3-α1）=-（α3-α1），
又因为α1，α2，α3线性无关，
所以α1+α2+α3≠0，α2-α1≠0，α3-α1≠0，
所以-1，2是A的特征值，α1+α2+α3，α2-α1，α3-α1是相对应的特征向量，
由α1，α2，α3线性无关，得：α1+α2+α3，α2-α1，α3-α1也线性无关，
所以-1是矩阵A的二重特征值，
即A的全部特征值为：-1，2．
（II）
证明：
∵（α1+α2+α3，α2-α1，α3-α1）=（α1，α2，α3）
1−1−1
110
101，
并且
.
1−1−1
110
101.＝2，
又由α1，α2，α3线性无关可知，α1+α2+α3，α2-α1，α3-α1线性无关，
∴A有三个线性无关的特征向量，
从而：矩阵A可相似对角化．
由已知得：
A（α1+α2+α3）=2（α1+α2+α3），A（α2-α1）=-（α2-α1），A（α3-α1）=-（α3-α1），
又因为α1，α2，α3线性无关，
所以α1+α2+α3≠0，α2-α1≠0，α3-α1≠0，
所以-1，2是A的特征值，α1+α2+α3，α2-α1，α3-α1是相对应的特征向量，
由α1，α2，α3线性无关，得：α1+α2+α3，α2-α1，α3-α1也线性无关，
所以-1是矩阵A的二重特征值，
即A的全部特征值为：-1，2．
（II）
证明：
∵（α1+α2+α3，α2-α1，α3-α1）=（α1，α2，α3）
1−1−1
110
101，
并且
.
1−1−1
110
101.＝2，
又由α1，α2，α3线性无关可知，α1+α2+α3，α2-α1，α3-α1线性无关，
∴A有三个线性无关的特征向量，
从而：矩阵A可相似对角化．
设A为三阶方阵，α1，α2，α3为三维线性无关列向量组，且有Aα1=α2+α3，Aα2=α1+α3，Aα3=α1+α2．
A为三阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的三维列向量,且满足Aα1=α1+α2+α3 ,Aα2=2α2+α3
设A为n阶方阵,α1,α2,...,αn为线性无关的n个n维列向量.证明:R(A)=n﹤=﹥ Aα1,Aα2,...,A
设A为2阶矩阵,α1,α2为线性无关的2维列向量,Aα1=0,Aα2=2α1+α2,则A的非零特征值为?
设三维向量α1,α2,α3线性无关,A是三阶矩阵,且有Aα1=α1+2α2+3α3,Aα2=2α2+3α3,Aα3=3α
设A为n阶可逆矩阵,α1,α2,…αn为 n个线性无关的n维列向量.
设A为3阶矩阵,α1,α2,α3为三维列向量组,秩(α1,α2,α3)
设A是n阶方阵,α1,α2...αn是n个线性无关的n维向量,证明rankA=n的充分必要条件是Aα1,Aα2,.,Aα
高代题：设A是n级方阵,α是n维列向量,若A^n-1α≠0,而A^nα=0,试证明α,Aα,…,A^n-1α 线性无关
A为三阶方阵a为三维列向量 a,Aa,A的平方a线性无关,A立方a=5Aa-3A平方a,求证矩阵【a,Aa,A四次方a】
设3维列向量α1,α2,α3线性无关,A是三阶矩阵,且有Aα1=α1+2α2+3α3,Aα2=2α2+3α3,Aα3=3
设A为2阶矩阵,α1,α2是两个线性无关的二维向量,Aα1=O,Aα2=2α1+α2,求A的非零特征值.