（2011•绍兴）数学课上，李老师出示了如下框中的题目．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 15:10:01

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况•探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AE==DB（填“＞”，“＜”或“=”）．

（2）特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE==DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：
如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．

（1）答案为：=．

（2）答案为：=．
证明：在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，
∴∠AEF=∠AFE=∠BAC=60°，
∴AE=AF=EF，
∴AB-AE=AC-AF，
即BE=CF，
∵∠ABC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，
∵∠EBC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，
∴∠BED=∠FCE，
在△DBE和△EFC中

ED＝EC
∠DEB＝∠ECF
EB＝FC，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB=EF，
∴AE=BD．

（3）分为四种情况：
如图：

∵AB=AC=1，AE=2，
∴B是AE的中点，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=1，△ACE是直角三角形（根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），
∴∠ACE=90°，∠AEC=30°，
∴∠D=∠ECB=∠BEC=30°，∠DBE=∠ABC=60°，
∴∠DEB=180°-30°-60°=90°，
即△DEB是直角三角形．
∴BD=2BE=2（30°所对的直角边等于斜边的一半），
即CD=1+2=3．

如图2，

过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥CD于M，
∵等边三角形ABC，EC=ED，
∴BN=CN=
1
2BC=
1
2，CM=MD=
1
2CD，AN∥EM，
∴△BAN∽△BEM，
∴
AB
AE=
BN
MN，
∵△ABC边长是1，AE=2，
∴
1
2=

1
2
MN，
∴MN=1，
∴CM=MN-CN=1-
1
2=
1
2，
∴CD=2CM=1；
如图3，∵∠ECD＞∠EBC（∠EBC=120°），而∠ECD不能大于120°，否则△EDC不符合三角形内角和定理，
∴此时不存在EC=ED；

如图4

∵∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB，
又∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ECD＞∠EDC，
即此时ED≠EC，
∴此时情况不存在，
答：CD的长是3或1．

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