作业帮急,一条空间几何数学题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/21 08:08:45
急,一条空间几何数学题
在死棱锥P-ABCD,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD且PA=PD=√2/2AD,若E,F分别为PC,BD的中点
(1)证明EF‖面PAD （2）求证：面PDC⊥面PAD（3）求二面角B-PD-C的正切值
在死棱锥P-ABCD,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD且PA=PD=√2/2AD,若E,F分别为PC,BD的中点
(1)证明EF‖面PAD （2）求证：面PDC⊥面PAD（3）求二面角B-PD-C的正切值
1.连接AC,显然F平分AC
在△PAC中,EF是中位线
∴EF‖PA
∴EF‖面PAD.
2.侧面PAD⊥底面ABCD,且CD⊥交线AD
∴CD⊥侧面PAD
又CD∈面PDC
∴面PDC⊥面PAD.
3.为了计算方便取AD=1,取PD的中点为G
PA=PD=√2/2,PC=PB=√6/2
FG=PB/2=√6/4,FD=BD/2=√2/2,GD=PD/2=√2/4
∴FG^2+GD^2=FD^2
∴FG⊥PD
而EG‖CD⊥PD
∴∠EGF是二面角B-PD-C的平面角
EG=CD/2=1/2,EF=PA/2=√2/4,FG=√6/4
∴cos∠EGF=√6/3
从而sin∠EGF=√3/3
∴tan∠EGF=√2/2.
在△PAC中,EF是中位线
∴EF‖PA
∴EF‖面PAD.
2.侧面PAD⊥底面ABCD,且CD⊥交线AD
∴CD⊥侧面PAD
又CD∈面PDC
∴面PDC⊥面PAD.
3.为了计算方便取AD=1,取PD的中点为G
PA=PD=√2/2,PC=PB=√6/2
FG=PB/2=√6/4,FD=BD/2=√2/2,GD=PD/2=√2/4
∴FG^2+GD^2=FD^2
∴FG⊥PD
而EG‖CD⊥PD
∴∠EGF是二面角B-PD-C的平面角
EG=CD/2=1/2,EF=PA/2=√2/4,FG=√6/4
∴cos∠EGF=√6/3
从而sin∠EGF=√3/3
∴tan∠EGF=√2/2.