微分方程的特解问题y''+y=sinx会求齐次方程的通解但是特解理解不了,求高手
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/22 02:06:40
微分方程的特解问题
y''+y=sinx
会求齐次方程的通解但是特解理解不了,求高手
y''+y=sinx
会求齐次方程的通解但是特解理解不了,求高手
对应齐次微分方程的特征方程:λ^2+1=0 特征根:±i y=C1cosx+C2sinx
f(x)=sinx 属于f(x)=e^(λx)[P1(x)cosωx+P2(x)sinωx]型,
λ=0,ω=1,P1(x)=0,P2(x)=1,λ+iω=i是特征根.
所以设特解为:y*=a1xcosx+a2xsinx
y*'=a1cosx+a2sinx-a1xsinx+a2xcosx
y*''=-2a1sinx+2a2cosx-a1xcosx-a2xsinx
y*''+y*=-2a1sinx+2a2xcosx=sinx
∴a2=0 a1=-1/2 y*=-(1/2)xcosx
y=C1cosx+C2sinx-(1/2)xcosx
再问: 懂了那要是求这种方程φ'(y)=5φ(y),齐次方程的λ是0,设齐次通解y=c1 c2x(这里的齐次通解也不确定对不对),那个非齐次是属于哪一种类型啊?是n次多项式类型吗?那么0是特征方程的单根还是重根呢?
再答: 分离变量即可
再问: 还是不太明白,这个是03年数二的第九大题,答案直接给出了,没有求解过程
再答: 这是一阶的,左边是对y求导,右边是y的函数,直接分离变量: dφ(y)]/φ(y)=5dy ln|φ(y)|=5y+lnC φ(y)=Ce^(5y)
f(x)=sinx 属于f(x)=e^(λx)[P1(x)cosωx+P2(x)sinωx]型,
λ=0,ω=1,P1(x)=0,P2(x)=1,λ+iω=i是特征根.
所以设特解为:y*=a1xcosx+a2xsinx
y*'=a1cosx+a2sinx-a1xsinx+a2xcosx
y*''=-2a1sinx+2a2cosx-a1xcosx-a2xsinx
y*''+y*=-2a1sinx+2a2xcosx=sinx
∴a2=0 a1=-1/2 y*=-(1/2)xcosx
y=C1cosx+C2sinx-(1/2)xcosx
再问: 懂了那要是求这种方程φ'(y)=5φ(y),齐次方程的λ是0,设齐次通解y=c1 c2x(这里的齐次通解也不确定对不对),那个非齐次是属于哪一种类型啊?是n次多项式类型吗?那么0是特征方程的单根还是重根呢?
再答: 分离变量即可
再问: 还是不太明白,这个是03年数二的第九大题,答案直接给出了,没有求解过程
再答: 这是一阶的,左边是对y求导,右边是y的函数,直接分离变量: dφ(y)]/φ(y)=5dy ln|φ(y)|=5y+lnC φ(y)=Ce^(5y)
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