作业帮高数求不定积分!
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/14 06:03:07
高数求不定积分!
设t=x^(1/6),x=t^6,dx=6t^5dt,
原式=∫6t^5dt/[t^3*√(1+t^2)]
=6∫t^2dt/√(1+t^2)
=6∫(1+t^2)dt/*√(1+t^2)-6∫dt/*√(1+t^2)
=6∫√(1+t^2)dt-6∫dt/*√(1+t^2)
=6*(t/2)√(1+t^2)+6(1/2)ln[t+√(1+t^2)]-6ln[t+√(1+t^2)]
=3t√(1+t^2)-3ln[t+√(1+t^2)]
=3x^(1/6)*[1+x^(1/3)]-3ln{x^(1/6)+√[1+x^(1/3)]}+C.
对于∫dt/√(1+t^2)可用三角函数代换.
用三角函数代换和分部积分：
原式=∫6t^5dt/[t^3*√(1+t^2)]
=6∫t^2dt/√(1+t^2)
设t=tanθ,dt=(secθ)^2dθ.
原式=6∫(tanθ)^2*(secθ)^2dθ/secθ
=6∫[(secθ)^2-1]secθdθ
=6∫(secθ)^3dθ-6∫secθdθ,
∫(secθ)^3dθ=∫(secθ)dtanθ
=secθtanθ-∫(tanθ)dsecθ
=secθtanθ-∫(tanθ)^2secθdθ
=secθtanθ-∫(secθ)^3dθ+∫secθdθ
∫(secθ)^3dθ=(secθtanθ)/2+(1/2)∫secθdθ
=(secθtanθ)/2+(1/2)ln|secθ+tanθ|+C1,
原式=3secθtanθ+3ln|secθ+tanθ|-6ln|secθ+tanθ|+C
=3x^(1/6)*[1+x^(1/3)]-3ln{x^(1/6)+√[1+x^(1/3)]}+C.
原式=∫6t^5dt/[t^3*√(1+t^2)]
=6∫t^2dt/√(1+t^2)
=6∫(1+t^2)dt/*√(1+t^2)-6∫dt/*√(1+t^2)
=6∫√(1+t^2)dt-6∫dt/*√(1+t^2)
=6*(t/2)√(1+t^2)+6(1/2)ln[t+√(1+t^2)]-6ln[t+√(1+t^2)]
=3t√(1+t^2)-3ln[t+√(1+t^2)]
=3x^(1/6)*[1+x^(1/3)]-3ln{x^(1/6)+√[1+x^(1/3)]}+C.
对于∫dt/√(1+t^2)可用三角函数代换.
用三角函数代换和分部积分：
原式=∫6t^5dt/[t^3*√(1+t^2)]
=6∫t^2dt/√(1+t^2)
设t=tanθ,dt=(secθ)^2dθ.
原式=6∫(tanθ)^2*(secθ)^2dθ/secθ
=6∫[(secθ)^2-1]secθdθ
=6∫(secθ)^3dθ-6∫secθdθ,
∫(secθ)^3dθ=∫(secθ)dtanθ
=secθtanθ-∫(tanθ)dsecθ
=secθtanθ-∫(tanθ)^2secθdθ
=secθtanθ-∫(secθ)^3dθ+∫secθdθ
∫(secθ)^3dθ=(secθtanθ)/2+(1/2)∫secθdθ
=(secθtanθ)/2+(1/2)ln|secθ+tanθ|+C1,
原式=3secθtanθ+3ln|secθ+tanθ|-6ln|secθ+tanθ|+C
=3x^(1/6)*[1+x^(1/3)]-3ln{x^(1/6)+√[1+x^(1/3)]}+C.