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来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/18 13:26:54
定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差依次构成一个等比数列，则称这个数列为差等比数列，如果数列{an}满足an+1=3an-2an-1（n≥2），a1=1，a2=3．
（Ⅰ）求证：数列{an}是差等比数列；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）Sn是数列{an}的前n项和，如果对任意的正整数n（n≥4），不等式Sn≤kan-9k恒成立，求实数k的取值范围．
（Ⅰ）求证：数列{an}是差等比数列；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）Sn是数列{an}的前n项和，如果对任意的正整数n（n≥4），不等式Sn≤kan-9k恒成立，求实数k的取值范围．
（Ⅰ）证明：由an+1=3an-2an-1，得an+1-an=2an-2an-1（n≥2），
∵a2-a1=2≠0，
∴
an+1−an
an−an−1＝2，
∴数列{an}是差等比数列；
（Ⅱ）∵数列{an+1-an}是等比数列，首项a2-a1=2，公比为2，
∴an+1−an＝2×2n−1＝2n．
则an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）
=1+2+22+…+2n-1=2n-1．
∴an＝2n−1；
（Ⅲ）Sn＝(21−1)+(22−1)+…+(2n−1)
=(1+22+…+2n)−n＝
1−2n+1
1−2−n
=2n+1-2-n．
由Sn≤kan-9k，得2n+1-2-n≤k（2n-10），
∵n≥4，
∴2n-10＞0，
则k≥
2n+1−2−n
2n−10＝2+
18−n
2n−10．
令g(n)＝2+
18−n
2n−10，
知n≥4时，g(n)max＝g(4)＝
13
3，
∴k≥
13
3．
∵a2-a1=2≠0，
∴
an+1−an
an−an−1＝2，
∴数列{an}是差等比数列；
（Ⅱ）∵数列{an+1-an}是等比数列，首项a2-a1=2，公比为2，
∴an+1−an＝2×2n−1＝2n．
则an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）
=1+2+22+…+2n-1=2n-1．
∴an＝2n−1；
（Ⅲ）Sn＝(21−1)+(22−1)+…+(2n−1)
=(1+22+…+2n)−n＝
1−2n+1
1−2−n
=2n+1-2-n．
由Sn≤kan-9k，得2n+1-2-n≤k（2n-10），
∵n≥4，
∴2n-10＞0，
则k≥
2n+1−2−n
2n−10＝2+
18−n
2n−10．
令g(n)＝2+
18−n
2n−10，
知n≥4时，g(n)max＝g(4)＝
13
3，
∴k≥
13
3．
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