排列组合：给定n个相同的集合,每个集合中有m个元素,从每个集合中任意选一元素,这些元素的组合数是多少

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/10 17:56:18

排列组合：给定n个相同的集合,每个集合中有m个元素,从每个集合中任意选一元素,这些元素的组合数是多少
例如：n = 2, m = 2 ,假设集合S = {a, b} 时,一共有 aa,ab,bb,这3种不同的组合.求通式和过程

设这 m 个元素分别是 x1,x2,.,xm ,
考察 (x1+x2+.+xm)^n 的展开式,每一项对应一个组合 .
展开式的每一项都形如 (x1^i1)*(x2^i2)*.*(xm^im) ,其中 i1+i2+...+im=n ,
因此,所求的组合数就是方程 i1+i2+.+im=n 的非负整数解数.
考虑 m+n-1 个并排排列的石头子,任选其中 m-1 个做上标记 .这些标记把石头子隔成了 m 段（允许有的段中无石头子）,各段的石头子数的和恰为 n .
由此得,方程 i1+i2+...+im=n 的非负整数解数等于从 m+n-1 个元素里取 m-1 个元素的组合数,
即 C(m+n-1,m-1) .
这就是你所要的答案 .它等于 (m+n-1)!/[(m-1)!*n!] .

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