作业帮用数学分析的知识求定积分
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/21 19:43:12
用数学分析的知识求定积分
积分（0到1）xlnx/(1-x) dx
实际就是常义Riemann积分
积分（0到1）xlnx/(1-x) dx
实际就是常义Riemann积分
作变量替换x＝1－t,原积分化为：积分（0到1）（1－t)ln(1-t)/tdt,然后把ln(1-t)写为幂级数,原积分化为：－积分（从0到1）求和（n从1到无穷）t^(n-1)/n-求和(n从1到无穷)t^n/n dt＝－求和(n从1到无穷)1/n^2+求和（n从1到无穷）1/n(n+1)＝1－pi^2/6.可能中间有些正负号不太准确,你自己好好看看.另外就是要验证积分和求和可以交换顺序
再问： 请问为什么可以逐项求积分？
再答： 你先不分解为两个级数的差，而是考虑求和(从1到无穷)(t^(n-1)-t^n)/n，用导数容易算出求和里面的函数在t＝（n－1）/n达到最大值，最大值不超过1/n^2，weierstrass判别法知道一致收敛，因此可以交换顺序。
再问： 请问为什么可以逐项求积分？
再答： 你先不分解为两个级数的差，而是考虑求和(从1到无穷)(t^(n-1)-t^n)/n，用导数容易算出求和里面的函数在t＝（n－1）/n达到最大值，最大值不超过1/n^2，weierstrass判别法知道一致收敛，因此可以交换顺序。