作业帮若当x∈(0,1/2)时,不等式x²+x＜logax恒成立,则实数a取值范围是
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/13 14:19:31
若当x∈(0,1/2)时,不等式x²+x＜logax恒成立,则实数a取值范围是
[[1]]
易知,a＞0,且a≠1
当x∈(0,1/2)时,
易知,恒有x²+x＞0.
又logax=(lnx)/(lna).(换底公式)
此时lnx＜0.结合题设
0＜x²+x＜logax=(lnx)/(lna)
可知,lna＜0
∴应有0＜a＜1.
[[2]]
构造函数f(x)=x²+x,g(x)=-logax.h(x)=f(x)+g(x).(0＜x＜1/2)
易知,在区间(0,1/2)上,函数f(x),g(x)均是递增函数,
∴函数h(x)=f(x)+g(x)在区间(0,1/2)上是递增函数.
由题设可知,函数h(x)在区间(0,1/2)上恒有h(x)＜0.
∴必有h(1/2)≤0.
即有(1/4)+(1/2)-loga(1/2)≤0.
整理就是(3/4)≤(ln1/2)/lna
lna≥(4/3)ln(1/2)=ln[(1/2)^(4/3)]
∴(1/2)^(4/3)≤a＜1
易知,a＞0,且a≠1
当x∈(0,1/2)时,
易知,恒有x²+x＞0.
又logax=(lnx)/(lna).(换底公式)
此时lnx＜0.结合题设
0＜x²+x＜logax=(lnx)/(lna)
可知,lna＜0
∴应有0＜a＜1.
[[2]]
构造函数f(x)=x²+x,g(x)=-logax.h(x)=f(x)+g(x).(0＜x＜1/2)
易知,在区间(0,1/2)上,函数f(x),g(x)均是递增函数,
∴函数h(x)=f(x)+g(x)在区间(0,1/2)上是递增函数.
由题设可知,函数h(x)在区间(0,1/2)上恒有h(x)＜0.
∴必有h(1/2)≤0.
即有(1/4)+(1/2)-loga(1/2)≤0.
整理就是(3/4)≤(ln1/2)/lna
lna≥(4/3)ln(1/2)=ln[(1/2)^(4/3)]
∴(1/2)^(4/3)≤a＜1
若当x∈(0,1/2)时,不等式x²+x＜logax恒成立,则实数a取值范围是
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