一道向量和三角函数的题,

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 03:35:23

一道向量和三角函数的题,
已知向量OA=(cosα,sinα) (α∈[-π,0]),向量m=(2,1) ,n=(0,-√5),且m⊥(OA－n).
(1)求向量OA;
(2)若cos(β－π)=√2／10 ,0＜β＜π,求cos(2α－β)

1.OA=(cosα,sinα) ,n=(0,-√5),那么(OA－n)=（cosa,sina+√5)
m=(2,1) m⊥(OA－n).
那么m*(OA-n)=0
即2cosa+sina+√5=0 所以2cosa+sina =-√5
2cosa+sina=√5sin(a+β)其中tanβ=2(β∈[0,π/2]),
所以 sin(a+β)=-1 α∈[-π,0]),（a+β）∈[-π,π/2]
所以a+β=-π/2
cosa=cos(-π/2-β)=cos(π/2+β)=-sinβ
sina=sin(-π/2-β)=-sin((π/2+β)=-cosβ
tanβ=2,sinβ=2/√5,cosβ=1/√5
所以OA=(cosa,sina)=(-2/√5,-1/√5)
2.cos(β－π)=√2／10 ,0＜β＜π,cos(β－π)=√2/10=-cosβ
cosβ=-√2/10,sinβ=7√2/10
cos(2a-β)=cos2a*cosβ+sin2a*sinβ
sin2a=2sinacosa=4/5
cos2a=2cos²a-1=3/5
代入上式得：
cos(2a-β)=√2/2
再问：请问 tanβ=2 是如何得出的？
再答： 2cosa+sina=√5sin(a+β) 右边展开，√5(sinβcosa+sinacosβ)=2cosa+sina √5sinβ=2, √5cosβ=1 tanβ=sinβ/cosβ=2

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