作业帮已知函数f(x）=一X2十2X十c的图象与两坐标轴交于P,Q,R三点.（1）求过P,Q,R三点的圆的方程 （2）试探
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/21 20:13:11
已知函数f(x）=一X2十2X十c的图象与两坐标轴交于P,Q,R三点.（1）求过P,Q,R三点的圆的方程 （2）试探
（2）试探究,对任意实数c,过P,Q,R三点的圆都经过定点.
（2）试探究,对任意实数c,过P,Q,R三点的圆都经过定点.
首先,我在以下网页都回答了第(1)问题,也想在此回答一次.另外补充第(2)的回答.
(1)函数图像交x轴的交点,纵坐标为0:
代y = 0:0 = -x² + 2x + c
解得x = 1 ± √(c + 1),其中c > -1
同理,函数图像交y轴的交点,横坐标为0:
代x = 0:y = -0² + 2*0 + c
解得y = c
∴P,Q,R的三点坐标分别为(1 + √(c + 1),0),(1 - √(c + 1),0),(0,c)
设过此三点的圆的方程为x² + y² + Dx + Ey + F = 0
则它们的坐标满足方程,
[1 + √(c + 1)]² + 0² + D*[1 + √(c + 1)] + E*0 + F = 0 (1)
[1 - √(c + 1)]² + 0² + D*[1 - √(c + 1)] + E*0 + F = 0 (2)
0² + c² + D*0 + E*c + F = 0 (3)
联立(1),(2),(3)式
解得D = -2,E = 1 - c,F = -c
∴圆的方程为x² + y² -2x + (1 - c)y - c = 0,其中c > -1
(2)将圆的方程x² + y² -2x + (1 - c)y - c = 0
变形为 x² + y² -2x + y - c(y + 1) = 0
对任意实数c (c > -1),此定点都满足方程:
则 x² + y² -2x + y = 0 且 y + 1 = 0
解得x = 0 或 x = 2,y = -1
所以定点为(0,-1),(2,-1)
(1)函数图像交x轴的交点,纵坐标为0:
代y = 0:0 = -x² + 2x + c
解得x = 1 ± √(c + 1),其中c > -1
同理,函数图像交y轴的交点,横坐标为0:
代x = 0:y = -0² + 2*0 + c
解得y = c
∴P,Q,R的三点坐标分别为(1 + √(c + 1),0),(1 - √(c + 1),0),(0,c)
设过此三点的圆的方程为x² + y² + Dx + Ey + F = 0
则它们的坐标满足方程,
[1 + √(c + 1)]² + 0² + D*[1 + √(c + 1)] + E*0 + F = 0 (1)
[1 - √(c + 1)]² + 0² + D*[1 - √(c + 1)] + E*0 + F = 0 (2)
0² + c² + D*0 + E*c + F = 0 (3)
联立(1),(2),(3)式
解得D = -2,E = 1 - c,F = -c
∴圆的方程为x² + y² -2x + (1 - c)y - c = 0,其中c > -1
(2)将圆的方程x² + y² -2x + (1 - c)y - c = 0
变形为 x² + y² -2x + y - c(y + 1) = 0
对任意实数c (c > -1),此定点都满足方程:
则 x² + y² -2x + y = 0 且 y + 1 = 0
解得x = 0 或 x = 2,y = -1
所以定点为(0,-1),(2,-1)
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