帮个忙·一道简单的数学题

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 17:35:31

帮个忙·一道简单的数学题
已知数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,问其通向公式

在数列{an}中,a1=2,a(n+1)=4an-3n+1,
(1)证明：数列{an-n}是等比数列
(2)写出数列{an}的前5项及通项公式
(3)用数学归纳法证明（2）中的通项公式对任意n属于N都成立
由a(n+1)=4an-3n+1,
知a(n+1)-(n+1)=4(an-n),
又a1=2,故a1-1=1≠0
所以数列{an-n}是公比q=4的等比数列
(2)
an-n=(a1-1)*[4^(n-1)]
通项an=4^(n-1)+n
a1=2,
a2=6
a3=19
a4=68
a5=261
(3)
①当n=1时,a1=4^(1-1)+1=4^0+1=1+1=2,成立.
②假设当n=k时,通项公式成立,即an=4^(n-1)+n
下面证明当n=k+1时,通项公式也成立,即a(n+1)=4^n+(n+1)
a(n+1)=4an-3n+1
=4*[4^(n-1)+n]-3n+1
=4*[4^(n-1)]+4*n-3n+1
=4^n+(n+1)
所以,当n=k+1时,通项公式也成立.
③综上所述,通项公式an=4^(n-1)+n对任意正整数n都成立.

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