证明任何一个有限群都与一个置换群同构.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/22 00:50:45

证明任何一个有限群都与一个置换群同构.

有限群的话,很简单：
设有限群为G={A0,A1,...,An}其中A0是0元素；
则对此群中的任意元素Ai,定义在此群上的置换
Fi：Aj-->Aj + Ai
现在我们验证下所有的这类置换G'={F0,F1,...,Fn}在置换复合运算( 即(Fi+Fj)(Ak)=Fj(Fi(Ak)) )下构成一个群：
运算封闭性：Fi + Fj属于G':设Ai + Aj = Ak属于G,容易验证Fi + Fj = Fk属于G';
零元素F0: Fi + F0 = Fi:这是显然的因为(Fi+F0)(Aj) = Aj + Ai + A0 = Aj + Ai = Fi(Aj);
交换率:Fi + Fj = Fj + Fi,实际上,如果Ai + Aj = Aj + Ai = Ak(这由原群G的交换率保证）,那么Fi + Fj = Fj + Fi = Fk
结合率：同样易验证(Fi + Fj) + Fk = Fi + (Fj + Fk),由原群G的结合率所保证.
综上,G’是一个（置换）群；
容易看出,G'与G是同构的,同构映射f: Ai --> Fi把0元素映射为0元素,
且f(Ai + Aj) = f(Ai) + f(Aj);
且f是双射：f(Ai) = f(Aj) ==> Fi = Fj ==> Fi(A0) = Fj(A0) ==> A0 + Ai = A0 + Aj ==> Ai = Aj,说明是单射；由定义（或者看G和G'都是n个元素,f又是单射）知是满射；

证明任何一个有限群都与一个置换群同构. 任何一个有限复数都可以表示为指数形式如何证明群同构?题目是这样的已知(B,*)是有两个元素的群:B={x,y} 要求给出一个同构群 f:A->B ,并且要抽象代数证明题：设H是群G的一个非空子集,且H中每个元素的阶都有限.证明：H 帮忙证明一下高等代数：向量空间F[x]可以与它的一个真子空间同构证明Hom(V,V*)与V上的双线性函数构成的空间之间存在一个同构映射设是一个具有消去律的有限独异点,证明是一个群. 如何判断群的同态与同构任何一个数都可以写成两个素数之和证明证明:定义在对称区间上的任何函数都可唯一表示成一个偶函数与一个奇函数之和. 试给出两个群H和K,使得H同构于K的一个真子群且K同构于H的一个真子群证明只含有两个元素的群一定是同构!)