作业帮求助一道线性代数题,关于空间线性封闭、仿射封闭和凸封闭性的
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/26 02:34:30
求助一道线性代数题,关于空间线性封闭、仿射封闭和凸封闭性的
题目简化后是这样子的：
xi属于集合A,ai属于实数R
（1）若已知“A中任取2个元素xi和xj,ai*xi+aj*xj属于A”,求证“A中任取N个元素,Sigma(ai*xi)也属于A”（这个我还会）
（2）若已知“A中任取2个元素xi和xj,当ai+aj=1时,ai*xi+aj*xj属于A”,求证“A中任取N个元素,当Sigma(ai)=1时,Sigma(ai*xi)也属于A”
（3）若已知“A中任取2个元素xi和xj,当ai+aj=1且ai>=0时,ai*xi+aj*xj属于A”,求证“A中任取N个元素,当Sigma(ai)=1且ai>=0时时,Sigma(ai*xi)也属于A”
题目简化后是这样子的：
xi属于集合A,ai属于实数R
（1）若已知“A中任取2个元素xi和xj,ai*xi+aj*xj属于A”,求证“A中任取N个元素,Sigma(ai*xi)也属于A”（这个我还会）
（2）若已知“A中任取2个元素xi和xj,当ai+aj=1时,ai*xi+aj*xj属于A”,求证“A中任取N个元素,当Sigma(ai)=1时,Sigma(ai*xi)也属于A”
（3）若已知“A中任取2个元素xi和xj,当ai+aj=1且ai>=0时,ai*xi+aj*xj属于A”,求证“A中任取N个元素,当Sigma(ai)=1且ai>=0时时,Sigma(ai*xi)也属于A”
都是很简单的归纳法,只考虑N>2
若Sigma(a_i)=1,那么a_i中至少有一个不是1,比如a_n不是1,
令b_i=a_i/(1-a_n),i=1,2,...,n-1,那么Sigma(b_i)=1,按归纳假设y=Sigma(b_i*x_i)属于A,再来一次(1-a_n)*y+a_n*x_n也属于A.
再问： 谢谢您的回答！ 我还想问下：若把条件中的点的个数改为无穷个，把Sigma改为积分。比如(2)改为：求证“A中任取无穷个元素x（不妨设一个指标集为T，选取的x记为x(t)，这些点对应于T的子集T‘）当a(t)对T’积分=1时，a*x对T‘积分属于A”。该如何论证？ 我的核心疑问是： 1、数学归纳法对无穷个是否也成立？（我刚接触了一点关于无穷的知识） 2、是否面对可数无穷和不可数无穷都可以应用数学归纳法，还是应当用别的什么去论证？
再答： 改成积分显然是不行的，一定要借助于其它条件。 最简单的例子只要把A取成实数集，找一个[0,1]上发散的积分\int_0^1 f(t) dt就行了（把dt看作系数，f(t)看作相应的x）。 一般来讲处理无穷的问题要回避对有限情形的依赖，一部分问题可以从有限情形去极限来获得。 数学归纳法确实有推广形式，即超限归纳法，可以把对自然数归纳推广到对序数归纳。不过在你真的学会之前不要乱用。
若Sigma(a_i)=1,那么a_i中至少有一个不是1,比如a_n不是1,
令b_i=a_i/(1-a_n),i=1,2,...,n-1,那么Sigma(b_i)=1,按归纳假设y=Sigma(b_i*x_i)属于A,再来一次(1-a_n)*y+a_n*x_n也属于A.
再问： 谢谢您的回答！ 我还想问下：若把条件中的点的个数改为无穷个，把Sigma改为积分。比如(2)改为：求证“A中任取无穷个元素x（不妨设一个指标集为T，选取的x记为x(t)，这些点对应于T的子集T‘）当a(t)对T’积分=1时，a*x对T‘积分属于A”。该如何论证？ 我的核心疑问是： 1、数学归纳法对无穷个是否也成立？（我刚接触了一点关于无穷的知识） 2、是否面对可数无穷和不可数无穷都可以应用数学归纳法，还是应当用别的什么去论证？
再答： 改成积分显然是不行的，一定要借助于其它条件。 最简单的例子只要把A取成实数集，找一个[0,1]上发散的积分\int_0^1 f(t) dt就行了（把dt看作系数，f(t)看作相应的x）。 一般来讲处理无穷的问题要回避对有限情形的依赖，一部分问题可以从有限情形去极限来获得。 数学归纳法确实有推广形式，即超限归纳法，可以把对自然数归纳推广到对序数归纳。不过在你真的学会之前不要乱用。