（本题12分）如图，已知正四棱柱ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 中，底面边长AB＝2，侧棱BB 1 的长为4，

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/17 04:53:53

（本题12分）如图，已知正四棱柱ABCD—A₁ B₁ C₁ D₁ 中，底面边长AB＝2，侧棱BB₁ 的长为4，过点B作B₁ C的垂线交侧棱CC₁ 于点E，交B₁ C于点F，
⑵ 证：平面A₁ CB⊥平面BDE；
⑵求A₁ B与平面BDE所成角的正弦值。

由正四棱柱得BD

AC，BD

AA₁ _，推出BD

面A₁ AC ，A₁ C

ＢＤ　，又A₁ B₁

面BB₁ C_１ C，BE得到BE

A₁ B₁ _，又BE

B₁ C， BE

面A₁ B₁ C，平面A₁ CB⊥平面BDE；；
⑵

试题分析：

正四棱柱得BD

AC，BD

AA₁ _，又_，

面A₁ AC ,又A₁ C

面A₁ AC，

A₁ C

ＢＤ　，又A₁ B₁

面BB₁ C_１ C，BE

面BB₁ C_１ C，

A₁ B₁ _，又BE

B₁ C，

面A₁ B₁ C，A₁ C

面A₁ B₁ C，

A₁ C，又_，

A₁ C

面BDE，又A₁ C

面A₁ BC

平面A₁ CB⊥平面BDE；
⑵以DA、DC、DD₁ 分别为x、y、z轴，建立坐标系，则

，

，
∴

，

∴

，设A₁ C

平面BDE＝K，由⑴可知，∠A₁ BK为A₁ B与平面BDE所成角，∴

点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用向量则能简化证明过程。本题通过建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算，简化了证明过程。