已知z1=x+yi,z2=x-yi且x^2+y^2=1,z3=(3+4i)z1+(3-4i)z2,（1）求证z2∈R（2

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/17 04:46:25

已知z1=x+yi,z2=x-yi且x^2+y^2=1,z3=(3+4i)z1+(3-4i)z2,（1）求证z2∈R（2）求z3的最大值和最小值.

应该证z3∈R.
z3=(3+4i)z1+(3-4i)z2
=(3+4i)(x+yi)+(3-4i)(x-yi)
=3x-4y+(4x+3y)i+3x-4y-(4x+3y)i
=6x-8y∈Z
x^2+y^2=1,故可设x=cosa,y=sina,则
z3=6x-8y
=6cosa-8sina
=10(3/5*cosa-4/5*sina)
=10cos[arccos(3/5)+a]
故z3的最大值为10,最小值为-10.
再问：第二个问不用设cosa、sina怎么做?
再答：可用判别式法。 z3=6x-8y，得x=(8y+z3)/6，代入x^2+y^2=1得 100y^2+16z3y+z3^2-36=0 判别式△=256z3^2-400(z3^2-36)=144(100-z3^2)≥0得 -10≤z3≤10
再问：那用线性规划怎么做？
再答：你是大学生吗，还学线性规划？线性规划要求目标函数和约束条件都是线性的，而这里x^2+y^2=1为二次型约束，虽然目标函数是线性的，但已属于非线性规划问题。但是不是二次规划，因为二次规划要求约束条件是线性的，目标函数是二次型的。也即本例连二次规划都不能解决。
再问：是高中生，老师的方法是数形结合。一个单位圆和一条直线y=3/4x-m/8……你知道怎么做吗？
再答：直线与单位圆相切时z3分别取最大值和最小值。数形结合求相切即可。直线为6x-8y=z3 也即y=3x/4-z3/8 当x=0时，y=-z3/8 只需求出相切时y轴上的截距。相切时有tana=3/4 则cosa=4/5=1/|-z3/8|=8/|z3| 解得|z3|=10 故z3的最大值为10，最小值为-10

已知z1=x+yi,z2=x-yi且x^2+y^2=1,z3=(3+4i)z1+(3-4i)z2,（1）求证z2∈R（2 已知复数z1,z2满足|z1|=|z2|=|z1+z2|,且z1+z2=2i,求z1,z2 若z1=x+根号5+yi,z2=x-根号5+yi(x,y∈R),且|z1|+|z2|=6,则|2x-3y-12|的最大值已知复数z1=(2x+1)+i,z2=y+(2-y)i 若z1=z2,且x属于R,y为纯虚数,求z 已知复数z1,z2满足|z1|=1,|z2|=1且z1+z2=1/2+(根号下(3)/2)i 求z1,z2 已知复数z1,z2满足z1z2+2i(z1-z2)+1=0,且|z1|=√3,求|z2-4i| 已知z1+z2=3-5i,z1-z2=-1-i,求z1^2+z2^2 已知z1=1-3i,z2=2a+4i,且z2=1/z1,求复数a. 已知复数Z1 Z2满足|Z1|=|Z2|=2,且Z1+Z2=—2i,求Z1,Z2 已知复数Z1Z2满足Z1+Z2=2i且|Z1|=|Z2|=|Z1+Z2|,求Z1,Z2 |z1|=|z2|=1,切z1+z2=3/5+4/5i,求证:z1^2+z2^2=-z1z2 已知z1=2-5i,z2=-4+3i,则arg(z1+z2)=