高中杠杆公式F1L1=F2L2的推导,怎么根据受力分析来推导

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：物理作业时间：2024/05/14 06:24:11

从受力分析的角度讲,涉及到关于力矩的概念,其定义为针对一个参考点的位矢与受力的外积,即M=r×F,M、r、F均为矢量.然后,由于杠杆是刚体,由刚体转动定律,M=Iβ,其中,M为外力在z轴方向的力矩（以杠杆转动平面为Oxy平面）,I为杠杆的转动惯量,β为转动角加速度,由于杠杆达到平衡时,角加速度为零,故有M为零,再根据定义计算出z轴方向力矩,为F1L1-F2L2,（此时,默认受力方向垂直于杠杆,否则会出现sinθ）,由其为零可知,该等式成立.
再问： F与L的关系如何根据数学与受力分析推导出，在不根据实验的情况下
再答：实验肯定是需要的，因为现在是在牛顿力学体系下讨论问题，所以需要牛顿三定律为实验基础。在此基础上，进行推导。首先，根据牛顿第二定律，我们有如下微分式：F=m（dv/dt），由于牛顿力学体系中，认为质量不变，故可和入微分式中，有F=d（mv）/dt，定义动量p=mv，即有F=dp/dt，然后，我们引入新的物理量——角动量，L=r×mv，其中L、r、v均为矢量，对L微分，并且除以dt，有dL/dt=d（r×mv）/dt=mv×(dr/dt)+r×(d（mv）/dt)，由dr/dt=v，d(mv)/dt=F，有原式=mv×v+r×F，由于v×v=0，原式=r×F，至此，我们可以定义力矩M=r×F，并且有角动量定理M=dL/dt，对于类似杠杆的定轴转动的刚体，取角动量定理z轴方向分量式，即有 Mz=d(Lz)/dt，由力矩定义，对于杠杆，有Mz=L1×F1+L2×F2=L1F1sinθ1-L2F2sinθ2，对于刚体，可无限细分为一个个小的质点，每一个质点对于转轴，均有一个位矢ri与速度vi（i为质点的编号），则每个质点都有一个相对转轴的角动量，即有Lzi=Ri×mivi=Ri，Ri为每个质点的转动圆半径，对Li求和，得刚体对z轴角动量，由于Ri与vi垂直，设w为刚体转动角速度，有Lz=mRv=mRwR，定义转动惯量I=mR^2，则有Lz=wI，两边对t取微分，有dLz/dt=Idw/dt，由角动量定理和角加速度定义，得到转动定理，之后便有上述过程。数学推导涉及较多微分问题和矢量外积计算，不知你是否熟悉，不过严格数学推导基本上就是这样，希望能帮到你。

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