作业帮向量的内积 ,正交向量组
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/12 05:18:45
向量的内积 ,正交向量组
设a1=（1,2,3）^T,求非零向量a1,a2,使得向量组a1,a2,a3为正交向量组.
上面错了是
设a1=（1，3）^T，求非零向量a2,a3,,使得向量组a1,a2,a3为正交向量组。
设a1=（1,2,3）^T,求非零向量a1,a2,使得向量组a1,a2,a3为正交向量组.
上面错了是
设a1=（1，3）^T，求非零向量a2,a3,,使得向量组a1,a2,a3为正交向量组。
思路：利用正交性,将问题转化为：
1.求解一个齐次线性方程组的基础解系；
2.然后再将该基础解系与α1一起构成向量组；
3.最后再正交化.
设x = (x1,x2,x3)与 α1 正交,
则,x1 + 2x2 + 3x3 = 0
解得基础解系为(-2,1,0),(-3,0,1)
将(1,2,3) ,(-2,1,0)、(-3,0,1)正交化得:
α1 = (1,2,3)
α1 = (-2,l,0)
α3 = (-3,-6,5)
这一向量组即为所求的正交向量组.
再问： x1 + 2x2 + 3x3 = 0 解得基础解系为(-2，1，0)，(-3，0，1) 这里不懂，怎么得来的？
再答： 至于你追问的基础解系：分别令 x2 和 x3 ＝0，求出另外两个的分量的关系就可以了： 比如当x2 = 0时，得到 ( - 3, 0, 1) ------实际上凡是乘不为0的任何系数，都是基础解系 当x3 = 0时，得到 ( - 2, 1, 0) 补充1：正交化方法----施密特方法: Schmidt正交化方法是将一组线性无关的向量α1，α2，……，αk，作如下的线性变换，化为一组与之等价的正交向量组： β1， β2，……，βk，的方法： β1 ＝ α1 β2 ＝ α2 - [β1，α2] / [β1，β1] β1 *----其中[ ]表示点积，就是对应先乘再求和 β3 ＝ α3 - [β1，α3] / [β1，β1] β1 - [β2，α3] / [β2，β2] β2 …… βk ＝ αk - [β1，αk] / [β1，β1] β1 - [β2，αk] / [β2，β2] β2 .............- [β(k-1)，αk] / [β(k-1)，β(k-1)] β(k-1) 对于此题目，要正交化下面三个： α1 = (1，2，3) α2 = (-2，1，0) α3 = (-3，0，1) β1 = α1 ＝(1，2，3) β2 = (-2，1，0) - [1*(-2) + 2*1 +3*0] / [(-2)^2 + 1^2 +0^2] *(1，2，3) = (-2，1，0) - 0 *(1，2，3) = (-2，1，0) β3 = α3 - [β1，α3] / [β1，β1] β1 - [β2，α3] / [β2，β2] β2 = (-3，0，1) - [-3 + 0 + 3] /[1^2 + 2^2 + 3^2] *(1，2，3) - [ 6 + 0 + 0] /[(-2)^2 + 1^2 + 0^2] *(-2，1，0) = (-3，0，1) - 6/5 *(-2，1，0) = (-3/5，-6/5，1) 我前面用β3 =(-3，-6，5)表示了，你继续整理一下，写成竖方向的----列向量形式，容易些
1.求解一个齐次线性方程组的基础解系；
2.然后再将该基础解系与α1一起构成向量组；
3.最后再正交化.
设x = (x1,x2,x3)与 α1 正交,
则,x1 + 2x2 + 3x3 = 0
解得基础解系为(-2,1,0),(-3,0,1)
将(1,2,3) ,(-2,1,0)、(-3,0,1)正交化得:
α1 = (1,2,3)
α1 = (-2,l,0)
α3 = (-3,-6,5)
这一向量组即为所求的正交向量组.
再问： x1 + 2x2 + 3x3 = 0 解得基础解系为(-2，1，0)，(-3，0，1) 这里不懂，怎么得来的？
再答： 至于你追问的基础解系：分别令 x2 和 x3 ＝0，求出另外两个的分量的关系就可以了： 比如当x2 = 0时，得到 ( - 3, 0, 1) ------实际上凡是乘不为0的任何系数，都是基础解系 当x3 = 0时，得到 ( - 2, 1, 0) 补充1：正交化方法----施密特方法: Schmidt正交化方法是将一组线性无关的向量α1，α2，……，αk，作如下的线性变换，化为一组与之等价的正交向量组： β1， β2，……，βk，的方法： β1 ＝ α1 β2 ＝ α2 - [β1，α2] / [β1，β1] β1 *----其中[ ]表示点积，就是对应先乘再求和 β3 ＝ α3 - [β1，α3] / [β1，β1] β1 - [β2，α3] / [β2，β2] β2 …… βk ＝ αk - [β1，αk] / [β1，β1] β1 - [β2，αk] / [β2，β2] β2 .............- [β(k-1)，αk] / [β(k-1)，β(k-1)] β(k-1) 对于此题目，要正交化下面三个： α1 = (1，2，3) α2 = (-2，1，0) α3 = (-3，0，1) β1 = α1 ＝(1，2，3) β2 = (-2，1，0) - [1*(-2) + 2*1 +3*0] / [(-2)^2 + 1^2 +0^2] *(1，2，3) = (-2，1，0) - 0 *(1，2，3) = (-2，1，0) β3 = α3 - [β1，α3] / [β1，β1] β1 - [β2，α3] / [β2，β2] β2 = (-3，0，1) - [-3 + 0 + 3] /[1^2 + 2^2 + 3^2] *(1，2，3) - [ 6 + 0 + 0] /[(-2)^2 + 1^2 + 0^2] *(-2，1，0) = (-3，0，1) - 6/5 *(-2，1，0) = (-3/5，-6/5，1) 我前面用β3 =(-3，-6，5)表示了，你继续整理一下，写成竖方向的----列向量形式，容易些