设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,有f(1)=∫xe^(1-x)f(x)dx(上限1,下限0),证明必存
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/26 13:23:04
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,有f(1)=∫xe^(1-x)f(x)dx(上限1,下限0),证明必存在ζ∈(0,1),使f'(ζ)=(1-ζ^(-1))f(ζ).
由积分中值定理知:f(1)=∫xe^(1-x)f(x)dx=ηe^(1-η)f(η),
η ∈(0,1) ;
对f'(ζ)=(1-ζ^(-1))f(ζ)变换得: f'(ζ)/f(ζ)=1-ζ^(-1);
将ζ变为x,并对两边积分得:lnf(x)=x-lnx+C;
故设F(x)=lnf(x)-x+lnx ;
F(1)=lnf(1)-1+ln1=lnf(η)-η+lnη=F(η);
由Roll定理知ζ∈(0,1),使F’(ζ)=0 即f'(ζ)=(1-ζ^(-1))f(ζ).
η ∈(0,1) ;
对f'(ζ)=(1-ζ^(-1))f(ζ)变换得: f'(ζ)/f(ζ)=1-ζ^(-1);
将ζ变为x,并对两边积分得:lnf(x)=x-lnx+C;
故设F(x)=lnf(x)-x+lnx ;
F(1)=lnf(1)-1+ln1=lnf(η)-η+lnη=F(η);
由Roll定理知ζ∈(0,1),使F’(ζ)=0 即f'(ζ)=(1-ζ^(-1))f(ζ).
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,有f(1)=∫xe^(1-x)f(x)dx(上限1,下限0),证明必存
设函数f(x)在区间[0,1]上连续,证明∫f(1-2x)dx上限为1/2下限为0=1/2∫f(x)dx上限
设函数f(x)在【0,1】上连续,在(0,1)内可导,且3∫f(x)dx=f(0),(上限为1,下限为2/3),证明:
设f(x)在【0,1】上连续可导,且f(1)=2∫ x三次方*f(x)dx,(上限1/2,下限0)证明:
证明:若函数f(x)在[0,1]上连续,则∫xf(sinx)dx=π/2∫f(sinx)dx (上限 π,下限 0)
【高数】定积分 设f(x)连续,f(0)=1,则曲线y=∫(上限x,下限0) f(x)dx 在(0
设f(x) 在[a,b] 上连续,证明∫(下限为a,上限为b)f(x)=(b-a)∫(下限为0,上限为1)f[a+(b-
设f(x)在[0,1]上连续 且满足f(x)=[1/(1+x^2)]-积分号(上限1,下限0)f(x)dx 求f(x)在
设f(3x+1)=xe^x/2,求∫f(x)dx(上限1下线0)
设f(x)在0到正无穷上连续,若积分上限f(x),下限0,t^2dt=x^2(x+1),求f(2)
设f(x)在区间[a,b]上连续,证明∫上限a,下限b.f(x)dx=∫上限a,下限bf(a+b-x)dx.
设 f (x) 在 [0,1] 上连续 ∫f(x)dx=A积分上下限为0,1求∫dx∫f(x)f(y)dy,上下限依次为