作业帮设A是m*n矩阵 证明R(A)=m的充要条件是存在n*m矩阵B,使AB=E
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/09 16:01:56
设A是m*n矩阵 证明R(A)=m的充要条件是存在n*m矩阵B,使AB=E
充分性：
因为,R(A)=m
存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q使得PAQ=【Em,0】
设D=【Em,0】^T,
则PAQD=Em,即AQDP=Em,
令B=QDP 即可得：AB=Em.
充分性得证.
必要性
已知：存在n*m矩阵B,使AB=E
不妨假设：对于A,存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q使得PAQ=C=
【Er,0】
【0,0】
即R（A）＜m
A=P^(-1)CQ^(-1)
AB=P^(-1)CQ^(-1)B=E
CQ^(-1)BP^(-1)=E
因为C的后m-r行全为零,矛盾,所以R（A）=m.
必要性得证.
因为,R(A)=m
存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q使得PAQ=【Em,0】
设D=【Em,0】^T,
则PAQD=Em,即AQDP=Em,
令B=QDP 即可得：AB=Em.
充分性得证.
必要性
已知：存在n*m矩阵B,使AB=E
不妨假设：对于A,存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q使得PAQ=C=
【Er,0】
【0,0】
即R（A）＜m
A=P^(-1)CQ^(-1)
AB=P^(-1)CQ^(-1)B=E
CQ^(-1)BP^(-1)=E
因为C的后m-r行全为零,矛盾,所以R（A）=m.
必要性得证.
设A是m*n矩阵 证明R(A)=m的充要条件是存在n*m矩阵B,使AB=E
设A为m*n矩阵,求证存在一个n阶矩阵B≠0,使AB=0的充要条件是r(A)
设A是m*n矩阵,r(A)=r,证明：存在秩为n-r的n阶矩阵B,使AB=0
一道线代证明题设A为s*n矩阵,证明：存在一个非零的n*m矩阵B,使得AB=O的充要条件是r（A）
4、设A是m×n矩阵,若存在非零的n×s矩阵B,使得AB=O,证明秩r(A)﹤n.
设A是m*n矩阵,若存在非零的n*s矩阵B,使得AB=O,证明秩r(A)
设A是m×n矩阵,R（A）=r,证明存在秩为r的m×n矩阵B与秩为r的r×n矩阵C,使A=BC
设A为m×n矩阵,证明AX=Em有解的充要条件是R(A)=m
设A是m×n的矩阵,B是n×p的矩阵,证明:若R(A)=n,R(AB)=R(B)
设r(Am*n)=m,证明:存在秩为m的n*m矩阵B,使得AB=E
A是m*n矩阵,B是n*m矩阵,证明:R(E-AB)+n=R(E-BA)+m.急救中
设A是m*n矩阵,B是n*s矩阵,证明秩r(AB)