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已知函数y=f(x)在(-∞,1]上是减函数,问:是否存在实数k,使得不等式f(k-sinx)>=f

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/06 13:59:30
已知函数y=f(x)在(-∞,1]上是减函数,问:是否存在实数k,使得不等式f(k-sinx)>=f
使得不等式f(k-sinx)>=f(k^2-sin^2x)对一切实数x恒成立.
算出来 不要黏贴糊弄我
k-sinx和k²-sin²x都在定义域上,则
k-sinx≤1 k≤1+sinx (1)
k²-sin²x≤1 k²≤1+sin²x (2)
x为任意实数,-1≤sinx≤1 0≤sin²x≤1
要对任意实数x,不等式(1)、(2)恒成立,则
k≤1+(-1) k≤0
k²≤1+sin²x k²≤1+0 k²≤1 -1≤k≤1
综上,得-1≤k≤0
函数在(-∞,1]上是减函数,又f(k-sinx)≥f(k²-sin²x),因此
k-sinx≤(k²-sin²x)
(k-sinx)-(k+sinx)(k-sinx)≤0
(k-sinx)(1-k-sinx)≤0
(sinx -k)[sinx-(1-k)]≤0
k≤0 1-k≥k
k≤sinx≤1-k
-1≤sinx≤1,要对任意实数x,k≤sinx≤1-k恒成立,则
k≤-1 1-k≥1,解得k≤-1且k≤0,k≤-1
又-1≤k≤0,因此k只能是-1.
即满足题意的实数k只有一个,k=-1.