奥数题1+(1+3)+(1+3+5)+(1+3+5+7)+...+(1+3+5+7+...+197+199)
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/05/14 03:31:07
奥数题1+(1+3)+(1+3+5)+(1+3+5+7)+...+(1+3+5+7+...+197+199)
第一种方法:
1+3=2^2
1+3+5=3^2
1+3+5+7=4^2
1+3+5+7+9=5^2
……
1+3+5+……(2n+1)=(n+1)^2利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1,可以得到:
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
.
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加,得:
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式得:
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得:
1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
带入上式可得:=1/6×100×101×201=338350
第二种方法:
S1=1
S2=1+(1+3)
S3=1+(1+3)+(1+3+5)
......
S50=1+(1+3)+(1+3+5)+……+(1+3+5+7+……+99)
则S50-S49=1+3+5+7+……+99=(1+99)*50/2
S49-S48=1+3+5+7+……+97=(1+97)*49/2 (不用算出来)
......
最后一个S3-S1=3
把上面的式子加起来得S50-S49+S49-S48+.+S2-S1=S50-S1=(1+99)*50/2-1
S=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+.+n^2
现套用如下式:
2^3-1^3=3*1^2+ 3*1+1
3^3-2^3=3*2^2+ 3*2+1
4^3-3^3=3*3^2+ 3*3+1
.
(n+1)^3-n^3=3*n^2+3*n+1
将上式相加得:
(n+1)^3-1=3*S+3*n*(n+1)/2+n
化简得s=(2n+1)(n+1)n/6
1+3=2^2
1+3+5=3^2
1+3+5+7=4^2
1+3+5+7+9=5^2
……
1+3+5+……(2n+1)=(n+1)^2利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1,可以得到:
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
.
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加,得:
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式得:
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得:
1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
带入上式可得:=1/6×100×101×201=338350
第二种方法:
S1=1
S2=1+(1+3)
S3=1+(1+3)+(1+3+5)
......
S50=1+(1+3)+(1+3+5)+……+(1+3+5+7+……+99)
则S50-S49=1+3+5+7+……+99=(1+99)*50/2
S49-S48=1+3+5+7+……+97=(1+97)*49/2 (不用算出来)
......
最后一个S3-S1=3
把上面的式子加起来得S50-S49+S49-S48+.+S2-S1=S50-S1=(1+99)*50/2-1
S=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+.+n^2
现套用如下式:
2^3-1^3=3*1^2+ 3*1+1
3^3-2^3=3*2^2+ 3*2+1
4^3-3^3=3*3^2+ 3*3+1
.
(n+1)^3-n^3=3*n^2+3*n+1
将上式相加得:
(n+1)^3-1=3*S+3*n*(n+1)/2+n
化简得s=(2n+1)(n+1)n/6
奥数题1+(1+3)+(1+3+5)+(1+3+5+7)+...+(1+3+5+7+...+197+199)
199-197+195-193+191-189+.+7-5+3-1
11+13+15+...+197+199= 1×3/1 + 3×5/1 + 5×7/1 + ...+ 97×99/1 +
计算1*1+2*3+3*5+4*7+.+99*197+100*199
1+3+5-7+9+11+13-15+…+193+195+197-199 简便计算
计算1+3+5+7+9.+195+197+199的值
1+2-3-4+5+6-7-8+.+197+198-199-200.得多少?
1+2-3-4+5+6-7-8+…+197+198-199-200=?
1+3+5+7+9+...+197+199/2+4+6+8+...+198+200
(2+4+6+8+10+.+198+200)-(1+3+5+7+9+.+197+199)
1+2-3-4+5+6-7-8.+197+198-199-200=多少
199+197-195+193-191+……+5-3+1