作业帮大一高数证明题：若an>0,且lim(n→∞)a(n+1)/a(n)=a,则lim（an^(1/n)）=a
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/15 13:03:40
大一高数证明题：若an>0,且lim(n→∞)a(n+1)/a(n)=a,则lim（an^(1/n)）=a
有没有简单一点的证法
有没有简单一点的证法
利用stolz定理,是最简单的做法
结论是明显的~
如果不用stolz定理,做法其实也不难~
lim(n→∞)a(n+1)/a(n)=a
根据定义：
对任意ε>0,存在N>0,当N>N,就有|a(n+1)/a(n)-a|
再问： 利用stolz定理怎么做？？？看不懂额，；那个不是两个数列，这是一个啊？请给出做法和解释，谢谢
再答： stolz定理： 设有数列An,Bn 若Bn>0递增且有n→+∞时Bn→+∞ 则有： 若lim(A(n+1)-An)/(B(n+1)-Bn)=L 则，lim(An)/(Bn)=L 因为lim a(n+1)/an=a，且an>0， 故a≥0 同取对数： ln[lim a(n+1)/an]=lna lim ln[a(n+1)/an] = lna lim lna(n+1) - lnan = lna 即： lim [lna(n+1) - lnan] / 1 =lna 进而构造： lim [lna(n+1) - lnan] / [(n+1)-(n)] =lna 令，An=lnan ，Bn=n 原式变为： lim(A(n+1)-An)/(B(n+1)-Bn)=lna 明显，Bn=n>0，单调递增，且n→+∞时Bn→+∞ 根据stolz定理，就有 lim An/Bn=lna 即， lim lnan / n = lna 即， lim ln(an^(1/n)) = lna 即， ln lim an^(1/n) =lna 因此， lim an^(1/n) = a 有不懂欢迎追问
结论是明显的~
如果不用stolz定理,做法其实也不难~
lim(n→∞)a(n+1)/a(n)=a
根据定义：
对任意ε>0,存在N>0,当N>N,就有|a(n+1)/a(n)-a|
再问： 利用stolz定理怎么做？？？看不懂额，；那个不是两个数列，这是一个啊？请给出做法和解释，谢谢
再答： stolz定理： 设有数列An,Bn 若Bn>0递增且有n→+∞时Bn→+∞ 则有： 若lim(A(n+1)-An)/(B(n+1)-Bn)=L 则，lim(An)/(Bn)=L 因为lim a(n+1)/an=a，且an>0， 故a≥0 同取对数： ln[lim a(n+1)/an]=lna lim ln[a(n+1)/an] = lna lim lna(n+1) - lnan = lna 即： lim [lna(n+1) - lnan] / 1 =lna 进而构造： lim [lna(n+1) - lnan] / [(n+1)-(n)] =lna 令，An=lnan ，Bn=n 原式变为： lim(A(n+1)-An)/(B(n+1)-Bn)=lna 明显，Bn=n>0，单调递增，且n→+∞时Bn→+∞ 根据stolz定理，就有 lim An/Bn=lna 即， lim lnan / n = lna 即， lim ln(an^(1/n)) = lna 即， ln lim an^(1/n) =lna 因此， lim an^(1/n) = a 有不懂欢迎追问
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lim (n→∞) (n^2/(an+b)-n^3/(2n^2-1))=1/4 求a,b