作业帮关于一阶线性非齐次微分方程的证明
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/14 15:34:04
关于一阶线性非齐次微分方程的证明
就是在齐次方程证明出的通解：
Y=Ce^-∫P(x)dx；
其中的C直接用关于x的未知函数u代替,中间有个“常数变易法”,不懂是什么,这样代换为什么可以.
就是在齐次方程证明出的通解：
Y=Ce^-∫P(x)dx；
其中的C直接用关于x的未知函数u代替,中间有个“常数变易法”,不懂是什么,这样代换为什么可以.
因为直接对原微分方程左边积分会产生一个常数,而之所以先对其左边积分其实是假设等式右边为零（定值）.在这种情况下我们用一个方程代替左边积分过后的等式的常数项,假设这个方程就是此时等式左右两边的线性关系.故只需再求出这个线性关系方程,则原微分方程可解（我语言表达能力不太好,又不懂的再请问）
再问： 呃，左边微分是产生常数项 可是这是建立在齐次方程的基础上的 怎么能用齐次方程求的通解来求非齐次的通解呢~~~~麻烦再解释下~~3Q
再答： 我没太明白你说的什么意思。你是说为什么在解非齐次线性微分方程时可以先把它的一部分看成是其次线性方程吗？如果是的话，你说的那个叫做对应于非齐次线性微分方程的齐次线性方程。具体的解法思想我已经写在上面了，简单说就是先把非齐次线性微分方程的一个部分看做 齐次线性方程，然后解这个齐次线性方程得到一个含常数的项，再把这个常数改写成一个未知方程（代表着积分后的左半边齐次线性方程与原方程右半边的线性关系）。然后解出这个未知方程就可得到所求的微分方程
再问： 奥，你的意思就是说解出的那个常数正好可以代表等式右边的Q（x），反正没有影响。 就是相当于把等式左边改了一个形式，再把Q（x）是常数的定义拿掉，就可以继续了对么~
再答： 差不多是这个意思。你可以把先解出左边理解为设当右边等于零时左边的定值（所以这时候左边用常数没错），但因为右边是个变量所以再把左边的常数换成线性关系式（未知方程）
再问： 呃，左边微分是产生常数项 可是这是建立在齐次方程的基础上的 怎么能用齐次方程求的通解来求非齐次的通解呢~~~~麻烦再解释下~~3Q
再答： 我没太明白你说的什么意思。你是说为什么在解非齐次线性微分方程时可以先把它的一部分看成是其次线性方程吗？如果是的话，你说的那个叫做对应于非齐次线性微分方程的齐次线性方程。具体的解法思想我已经写在上面了，简单说就是先把非齐次线性微分方程的一个部分看做 齐次线性方程，然后解这个齐次线性方程得到一个含常数的项，再把这个常数改写成一个未知方程（代表着积分后的左半边齐次线性方程与原方程右半边的线性关系）。然后解出这个未知方程就可得到所求的微分方程
再问： 奥，你的意思就是说解出的那个常数正好可以代表等式右边的Q（x），反正没有影响。 就是相当于把等式左边改了一个形式，再把Q（x）是常数的定义拿掉，就可以继续了对么~
再答： 差不多是这个意思。你可以把先解出左边理解为设当右边等于零时左边的定值（所以这时候左边用常数没错），但因为右边是个变量所以再把左边的常数换成线性关系式（未知方程）