顶点为原点O,焦点在X轴上的抛物线,其内接△ABC的重心是焦点F,若直线BC方程为4x+y-20=0.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/13 16:30:24

顶点为原点O,焦点在X轴上的抛物线,其内接△ABC的重心是焦点F,若直线BC方程为4x+y-20=0.
是否存在定点M,使过M的动直线与抛物线交于P,Q两点,满足 |OP+OQ|=|OP-OQ|?证明你的结论.

（I）设抛物线S的方程为y2=2px,将直线的方程代入抛物线的方程,消去y得到关于x的一元二次方程,再结合直线l与抛物线相交于两个不同的点得到根的判别式大于0,结合根与系数的关系利用重心公式即可求得p值,从而解决问题．
（I）设抛物线S的方程为y2=2px．（1分）
由 4x+y-20=0 y2=2px 可得2y2+py-20p=0．（3分）
由△＞0,有p＞0,或p＜-160．
设B（x1,y1）,C（x2,y2）,则y1+y2=-p 2 ,
∴x1+x2=(5-y1 4 )+(5-y2 4 )=10-y1+y2 4 =10+p 8 .（5分）
设A（x3,y3）,由△ABC的重心为F(p 2 ,0),则x1+x2+x3 3 =p 2 ,y1+y2+y3 3 =0,
∴x3=11p 8 -10,y3=p 2 .（6分）
∵点A在抛物线S上,
∴(p 2 )2=2p(11p 8 -10),
∴p=8．（7分）
∴抛物线S的方程为y2=16x．（8分）
答案没错!就是这样!这一题还有第二问的
这上面有完整的

顶点为原点O,焦点在X轴上的抛物线,其内接△ABC的重心是焦点F,若直线BC方程为4x+y-20=0. 若抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,焦点在直线3x-4y-12=0上则此抛物线方程是? 以原点为顶点,x轴为对称轴的抛物线的焦点在直线4x-3y+11=0上,则此抛物线的方程是如果抛物线的顶点坐标原点,对称轴为y轴,焦点在直线x-2y+4=0上,那么抛物线的方程是? 已知抛物线C的方程y^2=4x,F为抛物线的焦点,顶点在原点上以x轴为对称轴，以坐标原点为顶点，焦点在直线x-y=1上的抛物线的方程是（　　）抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,焦点在直线y-2x+2=0上,那么抛物线的方程为? 已知抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴上,Rt三角形AOB的三个顶点在抛物线C上,直角顶点O为原点,OA所在直线的方程为y 若三角形ABC的顶点在抛物线y^2=32上,且A的纵坐标为8,三角形ABC的重心恰好是抛物线的焦点,求直线BC的方程已知抛物线S的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,三角形ABC的三个顶点都在抛物线上,且三角形ABC的重心为抛物线的焦点,若B 抛物线的顶点在原点O,焦点在x轴上,A、B为抛物线上两点,且OA垂直于OB,直线OA的方程为y=2x,AB=5根号3 抛物线的顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点在直线3x+4y=12上,求该抛物线的标准方程