如图所示，已知二次函数y=ax2+bx-1（a≠0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），l为过点（0，-2）且与x轴平

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/15 08:27:32

如图所示，已知二次函数y=ax²+bx-1（a≠0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），l为

过点（0，-2）且与x轴平行的直线，P（m，n）是该二次函数图象上的任意一点，过P作PH⊥l，H为垂足．
（1）求二次函数y=ax²+bx-1（a≠0）的解析式；
（2）请直接写出使y＜0的对应的x的取值范围；
（3）对应当m=0，m=2和m=4时，分别计算|PO|²和|PH|²的值．由此观察其规律，并猜想一个结论，证明对于任意实数m，此结论成立；
（4）试问是否存在实数m可使△POH为正三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

（1）∵二次函数y=ax²+bx-1（a≠0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），
∴

4a+2b−1＝0
16a+4b−1＝3，
解得a=
1
4，b=0，
∴二次函数的解析式为y=
1
4x²-1；

（2）令y=
1
4x²-1=0，
解得x=-2或x=2，
由图象可知当-2＜x＜2时y＜0；

（3）当m=0时，|PO|²=1，|PH|²=1；
当m=2时，P点的坐标为（2，0），|PO|²=4，|PH|²=4，
当m=4时，P点的坐标为（4，3），|PO|²=25，|PH|²=25，
由此发现|PO|²=|PH|²，
设P点坐标为（m，n），即n=
1
4m²-1
|OP|=
m2+n2，
|PH|²=n²+4n+4=n²+m²，
故对于任意实数m，|PO|²=|PH|²；

（4）由（3）知OP=PH，只要OH=OP成立，△POH为正三角形，
设P点坐标为（m，n），|OP|=
m2+n2，
|OH|=
4+m2，
|OP|=|OH|，即n²=4，解得n=±2，
当n=-2时，n=
1
4m²-1不符合条件，
故n=2，m=±2
3时可使△POH为正三角形．